OLEH
SUHENDI 0701125129
dan
DEVI FAJAR LESTARI 0701125022
BSNP
BADAN STANDAR NASIONAL PENDIDIKAN
Fakultas keguruan dan ilmu pendidikan
Universitas prof.dr.hamka
Pasar rebo jakarta timur
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
Sekolah : SMA N
Kelas/semester : X/ 1
Mata Pelajaran : Matematika
Standar Kompetensi
Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar
1.1 Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar, dan logaritma dalam pemecahan masalah
1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan pangkat, akar dan logaritma
Indikator
Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya
Mengubah bentuk akar kebentuk pangkat dan sebaliknya.
Mengibah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.
Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkaaat, akar, dan logaritma.
Menyederhanakan bentuk aljbar yang memuat pangkat rasional
Menyederhanakan bentuk aljbar yang memuat logaritma.
Merasionalkan bentuk akar
Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk akar, pangkat dan logaritma.
Alokasi Waktu : 16 x 45 menit ( 8 Pertemuan)
A. Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat:
Mengubah bentuk pengkat negatif ke pangkat positiv
Mengubah bentuk pangkat positif ke pangkat negativ
Menyederhanakan bentuk akar
mengoperasikan aljabar pada bentuk akar
merasionalkan penyebut pada sebuah pecahan
memahami rumus-rumus pangkkat rasional
memahami sifat-sifat pangkat bulat dan pangkat rasional
mengubah pangkat pecahan negatif menjadi pangkat pecahan positif
memahami logaritma
menentukan logaritma suatu bilangan
memahami sifat-sifat logaritma
menggunakan logaritma dalam perhitungan
B. Materi Pembelajaran : bentuk pangkat, akar, dan logaritma
C. Metode Pembelajaran
Ceramah, Tanya Jawab, Diskusi Kelompok, dan pemberian Tugas
D. Langkah-Langkah Kegiatan Pembelajaran
pendahuluan:
· Mengimpormasikan kompeternsi yang akan dicapai dalm pembelajaran ini
· Dengan metode tanya jawab, guru memberikan rangsangan terhadap siswa-siswanya agar memahami materi yang akan diberikan
· Dengan tanya jawab, guru akan mengetahui sejauh mana siswa-siswanya mampu memahami materi yang akan diberikan. Sehingga guru akan mudah mengetahui metode mana yang akan digunakan dalam pembelajaran tersebut
kegiatan inti:
· Dengan metode tanya jawab, guru meminta siswanya untuk mencoba mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan materi yang diberikan
· Guru menerangkan kepada siswa-siswanya tentang materi yang akan diberikan
· Setelah menerangkan, guru meminta siswanya untuk mencobanya mengerjakan kembali soal-soal
· Sisiwa dibentuk menjadi beberapa kelompok, untuk mendiskusikan kembali materi yang sedang dipelajari
· Siswa mempersentasikan hasil diskusinya
· Siswa mengerjakan tugas yang diberikan
· Siswa mengumpulkan hasil evaluasi, guru melaksanakan penilaian hasil kerja
3. Kegiatan Penutup
· Siswa dipandu untuk membuat rangkuman
· Guru memberikan tugas
E. Sumber Belajar
· Buku sumber : Paket, erlangga, lks
· Bahan dan alat :........
F. Penilaian
· Teknik : Tugas kelompok dan Tugas Individu
· Bentuk Instrumen : Tes Tertulis
· Instrumen : Tugas
Mengetahui, Jakarta...............,...........200...
Kepala sekolah SMAN... Guru Mata Pelajaran..............
....................................... .............................................
NIP/NRK....................... NIP/NRK.............................
Minggu, Januari 25, 2009
Kamis, Januari 08, 2009
गेराकन masiswa
GERAKAN POLITIK MAHASISWA#Muh Hermawan Ibnu Nurdin*
Sesungguhnya sebuah pemikiran itu akan berhasil diwujudkan manakala kuat rasa keyakinan kepadanya, ikhlas dalam berjuang dijalannya, semangat dalam mereali-sasikannya, dan kesiapan untuk beramal serta berkorban dalam mewujudkannya. Keempat rukun ini, yakni iman, ikhlas, semangat dan amal merupakan karakter yang melekat pada pemuda. Karena sesungguhnya dasar keimanan itu adalah nurani yang menyala, dasar keikhlasan adalah hati yang bertakwa, dasar semangat adalah perasaan yang menggelora dan dasar amal adalah kemauan yang kuat. Hal itu semua tidak terdapat kecuali pada diri para pemuda
(Hasan Al-Banna)
Gerakan mahasiswa di Indonesia merupakan bentuk gerakan yang unik. Hingga saat ini tidak dijumpai gerakan yang serupa dengan gerakan mahasiswa/pemuda Indonesia dinegara manapun, termasuk negara tetangga maupun negara ‘dunia ketiga’. Sejarah indonesia menunjukkan bahwa peran mahasiswa/pemuda sangat signifikan untuk mengubah paradigma, sistem dan pengelela negara. Sejak kebangkitan (1928), kemerdekaan (1945), Orde Baru (1966) dan reformasi (1998) pemudalah yang menjadi penentu momentum perubahan.
Gerakan mahasiswa yang terjadi hingga saat ini di Indonesia, mirip dengan apa yang telah terjadi di Amerika dan Eropa di tahun 20–50-an. Yakni di era-era kemerdekaan dan revolusi. Untuk saat ini, energi dan momentum perubahan tidak lagi berpusat di mahasiswa, namun berpindah ke kaum profesional (menengah) dan partai politik (oposisi). Dan idealnya hal seperti inilah yang diharapkan terjadi, negara-negara yang maju dan sistem demokrasinya telah mapan biasanya telah melaluinya.
Karakter Gerakan Mahasiswa
Dalam lintasan sejarahnya, gerakan mahasiswa senantiasa memiliki karakter gerakan yang sama yakni idealis (normatif), murni dan tanpa pamrih, (sekedar) pendobrak, penentu momentum perubahan, simbol perlawanan dan didukung rakyat.
Dikatakan idealis karena apa yang disuarakan mahasiswa adalah nilai kebenaran universal berupa nilai moral yang diakui bersama kebaikannya oleh seluruh masyarakat, seperti anti tirani, demokratisasi, berantas KKN dll. Berbeda dengan partai politik yang sarat dengan kepentingan politik praktis seperti merebut kursi, mengincar jabatan menteri dan menggulingkan pemerintahan, gerakan mahasiswa murni dari kepentingan-kepentingan tersebut. Tidak pernah terbersit diagenda gerakan mahasiswa untuk mengambil alih kepemimpinan atau mendapat jatah kursi di parlemen. Disinilah letak keikhlasan gerakan mahasiswa.
Pada saat kondisi negara sedang stagnan dengan otoriterianisme dan pembungkaman terhadap suara-suara kritis begitu gencar, maka gerakan mahasiswa akan tampil sebagai pendobrak kebisuan politik. Mereka lebih lantang menyuarakan kritik dan perlawanan, apalagi ketika kooptasi negara sudah merajalela dan membungkan partai oposisi, kaum intelektual dan media massa. Pada saat seperti ini, gerakan mahasiswa akan tanpil terdepan dan menjadi penggerak serta corong perubahan. Gencarnya seruan-seruan mahasiswa ini semakin lama semakin lantang terdengar dan muncullah sipati rakyat dengan bentuk dukungan (moral dan material) serta keterlibatan elemen-elemen masyarakat. Gerakan perlawanan yang disimbolkan oleh aksi-aksi mahasiswa ini kemudian memuncak dan terciptalah momentum perubahan itu dengan bentuk pople power, reformasi, revolusi atau penggulingan rejim.
Setelah momentum perubahan itu terjadi, gerakan mahasiswa akan kembali ke tempat semulanya, yakni kampus dan melakukan ‘konsolidasi akademik’. Dan yang melanjutkan proses perubahan ini adalah orang-orang tua yang sebelumnya menjadi oposan atau bahkan orang lama yang (pura-pura) bertobat. Para mahasiswa tidak menikmati proses perubahan, bahkan meninggalkannya dengan begitu ikhlas dan menyerahkan proses perubahan itu dengan bulat-bulat ke orang lain.
Tapi, apakah kronologis perubahan seperti ini adalah daur baku yang tak berubah? Apakah gerakan mahasiswa itu selalu hanya menjadi pendobrak perubahan, dan proses lanjutannya dilaksanakan pihak lain? Apakah sudah menjadi ‘takdir historis’ bagi mahasiswa menjadi Zorro yang muncul dikala keributan dan menghilang saat penjahat sudah dikalahkan? Tidak adakah alternatif lain?
Tantangan Gerakan Mahasiswa
Untuk dapat merekonstruksi format gerakan mahasiswa, adalah bijak untuk meletakkan kembali gerakan mahasiswa dalam konteks kondisi internal gerakan mahasiswa dan eksternal kondisi bangsa. Secara eksternal, diyakini bahwa dalam waktu dekat kondisi perekonomian bangsa tetap berada dalam keterpurukan, bahkan cenderung lebih parah. Dilihat dari aliran ketergantungan yang begitu memparadigma di penentu kebijakan ekonomi Indonesia. Hutang, kelihatannya akan tetap menjadi pilihan favorit sehingga sama sekali tidak terbangun visi kemandirian. Bahkan secara perlahan namun pasti, proses menggadaikan negara terus berlangsung. Dengan menjual aset-aset bangsa yang seharusnya dipelihara negara, maka dapat dipastikan negara Indonesia yang dulunya kaya tidak akan memiliki apa-apa lagi, bahkan hajat hidup orang banyak seperti BBM, komunikasi dan listrik akan dikuasai asing. Kita menjadi kuli bahkan dinegara sendiri.
Sementara dibidang politik akan senantiasa dipenuhi dengan isu KKN pejabat tinggi negara disemua institusi negara (Eksekutif, Legislatif dan Yudikatif). Kekuatan orde baru terus melakukan konsolidasi dan memperbanyak pundi-pundi uang mereka untuk kepentingan pemuli 2004. Sementara UU Pemilu akan digunakan untuk menjegal lawan-lawan politik dan menjadi alat legitimasi kekuatan orba. Sehingga kalaupun terjadi pemilu 2004, tetap tidak memberikan optimisme bahwa reformasi politik akan terjadi. Bahkan ada keyakinan yang cukup besar bahwa partai orba akan kembali menjadi pemenang pemilu.
Sementara kemandirian politik bangsa ini sudah berada pada tahap memprihatinkan. Isu terorisme internasional yang digulirkan Amerika telah membuktikan bahwa pemerintah memang telah terkooptasi dengan agenda-agenda asing. Bahkan terkesan sudah tidak punya harga diri lagi. Sehingga dengan demikian bangsa Indonesia saat ini tengah berjalan menuju kehancuran. Tidak ada jaminan bahwa Indonesia akan berumur panjang, karena desintegrasi akan semakin kuat dengan semakin lemahnya bangsa. Kondisi seperti ini sudah lebih dari cukup untuk menjadi alasan bagi gerakan mahasiswa untuk kembali menggiatkan seruan-seruan perubahan, tidak boleh lagi untuk tinggal diam dan harus segera menyelesaikan ‘konsolidasi akademis’.
Sayangnya, kondisi bangsa yang begitu genting tidak juga serta merta membangkitkan heroisme perjuangan mahasiswa. Hal ini tentunya karena mahasiswa sendiri menhadapi persoalan internal yang juga semakin pelik. Kelelahan spikologis mahasiswa ketika reformasi tampaknya belum hilang, ditambah pula mahasiswa menjadi sangat sibuk dengan ritual kampus seperti kuliah, praktikum, KP dan lain-lain. Sementara dead line studi saat ini semakin mepet. Faktor ekonomi juga ikut memaksa mahasiswa untuk meninggalkan dunia kampus dalam tempo yang sesingkat-singkatnya. Sementara itu, pemuda Indonesia setiap harinya dihujani gaya hidup yang pragmatisme dan hedonis yang melenakan. Sehingga semakin sulitlah gerakan mahasiswa memperoleh dukungan justru dari mahasiswa itu sendiri. Sementara mata kuliah yang diajarkan tidak secara langsung menyadarkan mahasiswa akan kondisi sosial-politik disekitarnya.
Format Gerakan Mahasiswa
Hingga saat ini cukup banyak yang menganggap bahwa gerakan mahasiswa adalah gerakan moral an sich. Karena seruan yang dikemukakan selalu berlandaskan pada nilai-nilai moral universal seperti anti KKN, demokratisasi dll. Namun tidak dapat dipungkiri bahwa gerakan mahasiswa juga sampai pada seruan-seruan tegas untuk mengganti rejim, atau menggulingkan kekuasaan, penurunkan presiden atau menolak pencalonan seseorang. Gerakan mahasiswa juga mengkritik kebijakan pemerintah, menuntuk digantinya kebijakan pemerintah dan mengusulkan bentuk-bentuk perubahan konstitusi. Maka sebenarnya, apa yang telah dilakukan oleh gerakan mahasiswa juga adalah gerakan politik. Karena politik sesungguhnya bukan monopoli partai politik semata. Politik tidak bisa dicakup hanya dengan mengelola negara/pemerintahan, merebut kekuasaan dan mempertahankannya. Tapi semua hal yang menyangkut pengaturan untuk kemaslahatan bersama, itulah politik. Sangat menarik apa yang diungkapkan Hasan Al-Banna;
Politik adalah hal memikirkan tentang perosaolan internal dan eksternal umat, sisi internal adalah mengurus persoalan pemerintahan, menjelaskan fungsi-fungsinya, merinci kewajiban dan hak-haknya, melakukan pengawasan terhadap para penguasa untuk kemudian dipatuhi jika mereka melakukan kebaikan dan dikritik jika mereka melakukan kekeliruan. Sisi eksternal eksternal politik adalah memelihara kemerdekaan dan kebebasan bangsa, mengantrkannya mencapai tujuan yang akan menenpatkan kedudukannya ditngah-tengah bansa lain, serta membebaskannya dari penindasan dan intervensi pihak lain dalam urusan-urusannya.[1]
Memang selama ini orde baru berhasil menanamkan stigma buruk tentang gerakan politik dan partisan, sehingga masyarakat pun trauma dengan istilah politik. Apalagi dengan strategi floating mass yang diterapkan semakin menjadikan masyarakat hanya sebagai komoditas politik partai-partai. Sehingga tidak ada alasan sebenarnya untuk takut dengan gerakan politik dan hanya bersembunyi dibalik gerakan moral. Gerakan mahasiswa seharusnya tampil secara utuh. Tidak cuma seruan normatif, tapi sampai pada dataran praksis dengan tawaran nyata berupa format, draft bahkan personal. Paradigma gerakan mahasiswa perlu dirubah dengan melibatkan politik sebagai salah satu bentuk gerakannya.
Selanjutnya gerakan mahasiswa dalam menyuarakan perubahan harus secara utuh pula, tidak berperan hanya sebagai pendobrak, tapi juga menjadi pengawal dan pengontrol perubahan secara ketat. Bahkan harus pula siap memimpin perubahan. Gerakan Mahasiswa tidak boleh lagi menyerahkan estafeta perubahan kepada orang lama, harus dicari orang baru yang memiliki visi perubahan secara utuh dan tidak pernah terkontaminasi dengan masa lalu yang buruk.
Selanjutnya, untuk menjamin bahwa gerakan mahasiswa akan tetap berada pada arah gerakannya harus ditanamkan nilai-nilai ideologis yang menjadi ruh perjuangan gerakan mahasiswa. Dengan hal ini diharapkan bahwa gerakan mahasiswa akan tetap memiliki komitmen perjuangan, semangat dan istiqomah. Tidak mudah terjual dengan kedekatan pada kekuasaan ataupun fasilitas-fasilitas yang diberikan. Nilai-nilai ideologis juga sangat membantu dalam menciptakan kader yang militan dan sekaligus menyiapkan kader pemimpin bangsa yang tetap berada pada komitmen perjuangan. Meskipun demikian gerakan mahasiswa selayaknya senantiasa melakukan dialog antar sesama elemen gerakan mahasiswa, sehingga isu yang digulirkan akan cepat membesar dan tidak terkesan perjuangan elemen tertentu. Aliansi gerakan mahasiswa harus lebih sering dilaksanakan ketimbang aksi individu institusi, dengan menggunakan prinsip ‘bekerjasama dalam hal yang disepakati dan toleransi dalam hal-hal yang berbeda’.
Terakhir, agar gerakan mahasiswa tetap mendapat dukungan dari rakyat. Isu-isu yang dibawa oleh gerakan mahasiswa harus mampu dikemas dengan baik sehingga dan menyentuh kepentingan rakyat secara langsung. Kedua, gerakan mahasiswa harus berinteraksi dengan masyarat, tidak melulu dengan aktivitas politik elit. Meskipun juga tidak harus terjebak dengan gaya-gaya LSM. Setidaknya gerakan mahasiswa mampu menjadi penghubung antara masyarakat dan gerakan-gerakan pemberdayaan masyarakat.
Tawaran agenda aksi GM
Terlepas dari perbedaan cara pandang terhadap metode terbaik perubahan bangsa, yakni cara revolusi ataukah reformasi, gerakan mahasiswa idealnya memiliki grand isyu yang relatif sama. Hal ini akan menjamin wacana yang disuarakan akan cepat menggema dan bergulir bak bola salju. Agenda tersebut diantaranya; memberikan penyadaran akan kondisi bangsa kepada rakyat, melakukan delegitimasi terhadap (pengelola) institusi negara dan melakukan pengkritisan terhadap kebijakan negara, termasuk delegitimasi terhadap parpol bermasalah serta melakukan pencegahan atas penjualan aset-aset bangsa. Wallahua’lam.
Sesungguhnya sebuah pemikiran itu akan berhasil diwujudkan manakala kuat rasa keyakinan kepadanya, ikhlas dalam berjuang dijalannya, semangat dalam mereali-sasikannya, dan kesiapan untuk beramal serta berkorban dalam mewujudkannya. Keempat rukun ini, yakni iman, ikhlas, semangat dan amal merupakan karakter yang melekat pada pemuda. Karena sesungguhnya dasar keimanan itu adalah nurani yang menyala, dasar keikhlasan adalah hati yang bertakwa, dasar semangat adalah perasaan yang menggelora dan dasar amal adalah kemauan yang kuat. Hal itu semua tidak terdapat kecuali pada diri para pemuda
(Hasan Al-Banna)
Gerakan mahasiswa di Indonesia merupakan bentuk gerakan yang unik. Hingga saat ini tidak dijumpai gerakan yang serupa dengan gerakan mahasiswa/pemuda Indonesia dinegara manapun, termasuk negara tetangga maupun negara ‘dunia ketiga’. Sejarah indonesia menunjukkan bahwa peran mahasiswa/pemuda sangat signifikan untuk mengubah paradigma, sistem dan pengelela negara. Sejak kebangkitan (1928), kemerdekaan (1945), Orde Baru (1966) dan reformasi (1998) pemudalah yang menjadi penentu momentum perubahan.
Gerakan mahasiswa yang terjadi hingga saat ini di Indonesia, mirip dengan apa yang telah terjadi di Amerika dan Eropa di tahun 20–50-an. Yakni di era-era kemerdekaan dan revolusi. Untuk saat ini, energi dan momentum perubahan tidak lagi berpusat di mahasiswa, namun berpindah ke kaum profesional (menengah) dan partai politik (oposisi). Dan idealnya hal seperti inilah yang diharapkan terjadi, negara-negara yang maju dan sistem demokrasinya telah mapan biasanya telah melaluinya.
Karakter Gerakan Mahasiswa
Dalam lintasan sejarahnya, gerakan mahasiswa senantiasa memiliki karakter gerakan yang sama yakni idealis (normatif), murni dan tanpa pamrih, (sekedar) pendobrak, penentu momentum perubahan, simbol perlawanan dan didukung rakyat.
Dikatakan idealis karena apa yang disuarakan mahasiswa adalah nilai kebenaran universal berupa nilai moral yang diakui bersama kebaikannya oleh seluruh masyarakat, seperti anti tirani, demokratisasi, berantas KKN dll. Berbeda dengan partai politik yang sarat dengan kepentingan politik praktis seperti merebut kursi, mengincar jabatan menteri dan menggulingkan pemerintahan, gerakan mahasiswa murni dari kepentingan-kepentingan tersebut. Tidak pernah terbersit diagenda gerakan mahasiswa untuk mengambil alih kepemimpinan atau mendapat jatah kursi di parlemen. Disinilah letak keikhlasan gerakan mahasiswa.
Pada saat kondisi negara sedang stagnan dengan otoriterianisme dan pembungkaman terhadap suara-suara kritis begitu gencar, maka gerakan mahasiswa akan tampil sebagai pendobrak kebisuan politik. Mereka lebih lantang menyuarakan kritik dan perlawanan, apalagi ketika kooptasi negara sudah merajalela dan membungkan partai oposisi, kaum intelektual dan media massa. Pada saat seperti ini, gerakan mahasiswa akan tanpil terdepan dan menjadi penggerak serta corong perubahan. Gencarnya seruan-seruan mahasiswa ini semakin lama semakin lantang terdengar dan muncullah sipati rakyat dengan bentuk dukungan (moral dan material) serta keterlibatan elemen-elemen masyarakat. Gerakan perlawanan yang disimbolkan oleh aksi-aksi mahasiswa ini kemudian memuncak dan terciptalah momentum perubahan itu dengan bentuk pople power, reformasi, revolusi atau penggulingan rejim.
Setelah momentum perubahan itu terjadi, gerakan mahasiswa akan kembali ke tempat semulanya, yakni kampus dan melakukan ‘konsolidasi akademik’. Dan yang melanjutkan proses perubahan ini adalah orang-orang tua yang sebelumnya menjadi oposan atau bahkan orang lama yang (pura-pura) bertobat. Para mahasiswa tidak menikmati proses perubahan, bahkan meninggalkannya dengan begitu ikhlas dan menyerahkan proses perubahan itu dengan bulat-bulat ke orang lain.
Tapi, apakah kronologis perubahan seperti ini adalah daur baku yang tak berubah? Apakah gerakan mahasiswa itu selalu hanya menjadi pendobrak perubahan, dan proses lanjutannya dilaksanakan pihak lain? Apakah sudah menjadi ‘takdir historis’ bagi mahasiswa menjadi Zorro yang muncul dikala keributan dan menghilang saat penjahat sudah dikalahkan? Tidak adakah alternatif lain?
Tantangan Gerakan Mahasiswa
Untuk dapat merekonstruksi format gerakan mahasiswa, adalah bijak untuk meletakkan kembali gerakan mahasiswa dalam konteks kondisi internal gerakan mahasiswa dan eksternal kondisi bangsa. Secara eksternal, diyakini bahwa dalam waktu dekat kondisi perekonomian bangsa tetap berada dalam keterpurukan, bahkan cenderung lebih parah. Dilihat dari aliran ketergantungan yang begitu memparadigma di penentu kebijakan ekonomi Indonesia. Hutang, kelihatannya akan tetap menjadi pilihan favorit sehingga sama sekali tidak terbangun visi kemandirian. Bahkan secara perlahan namun pasti, proses menggadaikan negara terus berlangsung. Dengan menjual aset-aset bangsa yang seharusnya dipelihara negara, maka dapat dipastikan negara Indonesia yang dulunya kaya tidak akan memiliki apa-apa lagi, bahkan hajat hidup orang banyak seperti BBM, komunikasi dan listrik akan dikuasai asing. Kita menjadi kuli bahkan dinegara sendiri.
Sementara dibidang politik akan senantiasa dipenuhi dengan isu KKN pejabat tinggi negara disemua institusi negara (Eksekutif, Legislatif dan Yudikatif). Kekuatan orde baru terus melakukan konsolidasi dan memperbanyak pundi-pundi uang mereka untuk kepentingan pemuli 2004. Sementara UU Pemilu akan digunakan untuk menjegal lawan-lawan politik dan menjadi alat legitimasi kekuatan orba. Sehingga kalaupun terjadi pemilu 2004, tetap tidak memberikan optimisme bahwa reformasi politik akan terjadi. Bahkan ada keyakinan yang cukup besar bahwa partai orba akan kembali menjadi pemenang pemilu.
Sementara kemandirian politik bangsa ini sudah berada pada tahap memprihatinkan. Isu terorisme internasional yang digulirkan Amerika telah membuktikan bahwa pemerintah memang telah terkooptasi dengan agenda-agenda asing. Bahkan terkesan sudah tidak punya harga diri lagi. Sehingga dengan demikian bangsa Indonesia saat ini tengah berjalan menuju kehancuran. Tidak ada jaminan bahwa Indonesia akan berumur panjang, karena desintegrasi akan semakin kuat dengan semakin lemahnya bangsa. Kondisi seperti ini sudah lebih dari cukup untuk menjadi alasan bagi gerakan mahasiswa untuk kembali menggiatkan seruan-seruan perubahan, tidak boleh lagi untuk tinggal diam dan harus segera menyelesaikan ‘konsolidasi akademis’.
Sayangnya, kondisi bangsa yang begitu genting tidak juga serta merta membangkitkan heroisme perjuangan mahasiswa. Hal ini tentunya karena mahasiswa sendiri menhadapi persoalan internal yang juga semakin pelik. Kelelahan spikologis mahasiswa ketika reformasi tampaknya belum hilang, ditambah pula mahasiswa menjadi sangat sibuk dengan ritual kampus seperti kuliah, praktikum, KP dan lain-lain. Sementara dead line studi saat ini semakin mepet. Faktor ekonomi juga ikut memaksa mahasiswa untuk meninggalkan dunia kampus dalam tempo yang sesingkat-singkatnya. Sementara itu, pemuda Indonesia setiap harinya dihujani gaya hidup yang pragmatisme dan hedonis yang melenakan. Sehingga semakin sulitlah gerakan mahasiswa memperoleh dukungan justru dari mahasiswa itu sendiri. Sementara mata kuliah yang diajarkan tidak secara langsung menyadarkan mahasiswa akan kondisi sosial-politik disekitarnya.
Format Gerakan Mahasiswa
Hingga saat ini cukup banyak yang menganggap bahwa gerakan mahasiswa adalah gerakan moral an sich. Karena seruan yang dikemukakan selalu berlandaskan pada nilai-nilai moral universal seperti anti KKN, demokratisasi dll. Namun tidak dapat dipungkiri bahwa gerakan mahasiswa juga sampai pada seruan-seruan tegas untuk mengganti rejim, atau menggulingkan kekuasaan, penurunkan presiden atau menolak pencalonan seseorang. Gerakan mahasiswa juga mengkritik kebijakan pemerintah, menuntuk digantinya kebijakan pemerintah dan mengusulkan bentuk-bentuk perubahan konstitusi. Maka sebenarnya, apa yang telah dilakukan oleh gerakan mahasiswa juga adalah gerakan politik. Karena politik sesungguhnya bukan monopoli partai politik semata. Politik tidak bisa dicakup hanya dengan mengelola negara/pemerintahan, merebut kekuasaan dan mempertahankannya. Tapi semua hal yang menyangkut pengaturan untuk kemaslahatan bersama, itulah politik. Sangat menarik apa yang diungkapkan Hasan Al-Banna;
Politik adalah hal memikirkan tentang perosaolan internal dan eksternal umat, sisi internal adalah mengurus persoalan pemerintahan, menjelaskan fungsi-fungsinya, merinci kewajiban dan hak-haknya, melakukan pengawasan terhadap para penguasa untuk kemudian dipatuhi jika mereka melakukan kebaikan dan dikritik jika mereka melakukan kekeliruan. Sisi eksternal eksternal politik adalah memelihara kemerdekaan dan kebebasan bangsa, mengantrkannya mencapai tujuan yang akan menenpatkan kedudukannya ditngah-tengah bansa lain, serta membebaskannya dari penindasan dan intervensi pihak lain dalam urusan-urusannya.[1]
Memang selama ini orde baru berhasil menanamkan stigma buruk tentang gerakan politik dan partisan, sehingga masyarakat pun trauma dengan istilah politik. Apalagi dengan strategi floating mass yang diterapkan semakin menjadikan masyarakat hanya sebagai komoditas politik partai-partai. Sehingga tidak ada alasan sebenarnya untuk takut dengan gerakan politik dan hanya bersembunyi dibalik gerakan moral. Gerakan mahasiswa seharusnya tampil secara utuh. Tidak cuma seruan normatif, tapi sampai pada dataran praksis dengan tawaran nyata berupa format, draft bahkan personal. Paradigma gerakan mahasiswa perlu dirubah dengan melibatkan politik sebagai salah satu bentuk gerakannya.
Selanjutnya gerakan mahasiswa dalam menyuarakan perubahan harus secara utuh pula, tidak berperan hanya sebagai pendobrak, tapi juga menjadi pengawal dan pengontrol perubahan secara ketat. Bahkan harus pula siap memimpin perubahan. Gerakan Mahasiswa tidak boleh lagi menyerahkan estafeta perubahan kepada orang lama, harus dicari orang baru yang memiliki visi perubahan secara utuh dan tidak pernah terkontaminasi dengan masa lalu yang buruk.
Selanjutnya, untuk menjamin bahwa gerakan mahasiswa akan tetap berada pada arah gerakannya harus ditanamkan nilai-nilai ideologis yang menjadi ruh perjuangan gerakan mahasiswa. Dengan hal ini diharapkan bahwa gerakan mahasiswa akan tetap memiliki komitmen perjuangan, semangat dan istiqomah. Tidak mudah terjual dengan kedekatan pada kekuasaan ataupun fasilitas-fasilitas yang diberikan. Nilai-nilai ideologis juga sangat membantu dalam menciptakan kader yang militan dan sekaligus menyiapkan kader pemimpin bangsa yang tetap berada pada komitmen perjuangan. Meskipun demikian gerakan mahasiswa selayaknya senantiasa melakukan dialog antar sesama elemen gerakan mahasiswa, sehingga isu yang digulirkan akan cepat membesar dan tidak terkesan perjuangan elemen tertentu. Aliansi gerakan mahasiswa harus lebih sering dilaksanakan ketimbang aksi individu institusi, dengan menggunakan prinsip ‘bekerjasama dalam hal yang disepakati dan toleransi dalam hal-hal yang berbeda’.
Terakhir, agar gerakan mahasiswa tetap mendapat dukungan dari rakyat. Isu-isu yang dibawa oleh gerakan mahasiswa harus mampu dikemas dengan baik sehingga dan menyentuh kepentingan rakyat secara langsung. Kedua, gerakan mahasiswa harus berinteraksi dengan masyarat, tidak melulu dengan aktivitas politik elit. Meskipun juga tidak harus terjebak dengan gaya-gaya LSM. Setidaknya gerakan mahasiswa mampu menjadi penghubung antara masyarakat dan gerakan-gerakan pemberdayaan masyarakat.
Tawaran agenda aksi GM
Terlepas dari perbedaan cara pandang terhadap metode terbaik perubahan bangsa, yakni cara revolusi ataukah reformasi, gerakan mahasiswa idealnya memiliki grand isyu yang relatif sama. Hal ini akan menjamin wacana yang disuarakan akan cepat menggema dan bergulir bak bola salju. Agenda tersebut diantaranya; memberikan penyadaran akan kondisi bangsa kepada rakyat, melakukan delegitimasi terhadap (pengelola) institusi negara dan melakukan pengkritisan terhadap kebijakan negara, termasuk delegitimasi terhadap parpol bermasalah serta melakukan pencegahan atas penjualan aset-aset bangsa. Wallahua’lam.
Selasa, November 25, 2008
टोरी bilangan
Teori Bilangan
· Teori bilangan (number theory) adalah teori yang mendasar dalam memahami algoritma kriptografi
· Bilangan yang dimaksudkan adalah bilangan bulat (integer)
Bilangan Bulat
· Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0
· Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.
Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
· Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a ¹ 0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
· Notasi: a b jika b = ac, c Î Z dan a ¹ 0. (Z = himpunan bilangan bulat)
· Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga “b kelipatan a”.
· Contoh 1: 4 12 karena 12 4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 ´ 3. Tetapi 4 13 karena 13 4 = 3.25 (bukan bilangan bulat).
Teorema 1 (Teorema Euclidean). Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga
m = nq + r (1)
dengan 0 £ r < 1987 =" 97" 22 =" 3(–8)" 22 =" 3(–7)" r =" –1" n =" 0" m =" 80," n =" 12" nb =" 1" 3 =" 1" m =" 2" n =" –13." 5 =" 1."> 0. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m.
· Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 £ r < 5 =" 3" 23 =" 5" 3 =" 0" 27 =" 3" 8 =" 6" 6 =" 8" 12 =" 0" 0 =" 12" 9 =" 4" 41 =" 9" 13 =" 0" 39 =" 13(–3)" m =" m" 9 =" 5," 9 =" 9" 5 =" 4." 5 =" 3" 5 =" 3,"> 0, maka a º b (mod m) jika m habis membagi a – b.
· Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a º/ b (mod m) .
Contoh 8.
17 º 2 (mod 3) ( 3 habis membagi 17 – 2 = 15)
–7 º 15 (mod 11) (11 habis membagi –7 – 15 = –22)
12 º/ 2 (mod 7) (7 tidak habis membagi 12 – 2 = 10 )
–7 º/ 15 (mod 3) (3 tidak habis membagi –7 – 15 = –22)
· Kekongruenan a º b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan
a = b + km (3)
yang dalam hal ini k adalah bilangan bulat.
Contoh 9.
17 º 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5 × 3
–7 º 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2)11
· Berdasarkan definisi aritmetika modulo, kita dapat menuliskan a mod m = r sebagai
a º r (mod m)
Contoh 10.
Beberapa hasil operasi dengan operator modulo berikut:
(i) 23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 º 3 (mod 5)
(ii) 27 mod 3 = 0 dapat ditulis sebagai 27 º 0 (mod 3)
(iii) 6 mod 8 = 6 dapat ditulis sebagai 6 º 6 (mod 8)
(iv) 0 mod 12 = 0 dapat ditulis sebagai 0 º 0 (mod 12)
(v) – 41 mod 9 = 4 dapat ditulis sebagai –41 º 4 (mod 9)
(vi) – 39 mod 13 = 0 dapat ditulis sebagai – 39 º 0 (mod 13)
Teorema 2. Misalkan m adalah bilangan bulat positif.
1. Jika a º b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka
(i) (a + c) º (b + c) (mod m)
(ii) ac º bc (mod m)
(iii) ap º bp (mod m) untuk suatu bilangan bulat tak negatif p.
2. Jika a º b (mod m) dan c º d (mod m), maka
(i) (a + c) º (b + d) (mod m)
(ii) ac º bd (mod m)
Bukti (hanya untuk 1(ii) dan 2(i) saja):
1(ii) a º b (mod m) berarti:
Û a = b + km
Û a – b = km
Û (a – b)c = ckm
Û ac = bc + Km
Û ac º bc (mod m) ¾
2(i) a º b (mod m) Û a = b + k1m
c º d (mod m) Û c = d + k2m +
Û (a + c) = (b + d) + (k1 + k2)m
Û (a + c) = (b + d) + km ( k = k1 + k2)
Û (a + c) = (b + d) (mod m) ¾
Contoh 11.
Misalkan 17 º 2 (mod 3) dan 10 º 4 (mod 3), maka menurut Teorema 2,
17 + 5 = 2 + 5 (mod 3) Û 22 = 7 (mod 3)
17 . 5 = 5 × 2 (mod 3) Û 85 = 10 (mod 3)
17 + 10 = 2 + 4 (mod 3) Û 27 = 6 (mod 3)
17 . 10 = 2 × 4 (mod 3) Û 170 = 8 (mod 3)
· Perhatikanlah bahwa Teorema 2 tidak memasukkan operasi pembagian pada aritmetika modulo karena jika kedua ruas dibagi dengan bilangan bulat, maka kekongruenan tidak selalu dipenuhi. Misalnya:
(i) 10 º 4 (mod 3) dapat dibagi dengan 2 karena 10/2 = 5 dan 4/2 = 2, dan 5 º 2 (mod 3)
(ii) 14 º 8 (mod 6) tidak dapat dibagi dengan 2, karena 14/2 = 7 dan 8/2 = 4, tetapi 7 º/ 4 (mod 6).
Balikan Modulo (modulo invers)
· Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari a modulo m. Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat sedemikian sehingga
a º 1 (mod m)
Bukti: Dari definisi relatif prima diketahui bahwa PBB(a, m) = 1, dan menurut persamaan (2) terdapat bilangan bulat p dan q sedemikian sehingga
pa + qm = 1
yang mengimplikasikan bahwa
pa + qm º 1 (mod m)
Karena qm º 0 (mod m), maka
pa º 1 (mod m)
Kekongruenan yang terakhir ini berarti bahwa p adalah balikan dari a modulo m. ¾
· Pembuktian di atas juga menceritakan bahwa untuk mencari balikan dari a modulo m, kita harus membuat kombinasi lanjar dari a dan m sama dengan 1. Koefisien a dari kombinasi lanjar tersebut merupakan balikan dari a modulo m.
Contoh 12.
Tentukan balikan dari 4 (mod 9), 17 (mod 7), dan 18 (mod 10).
Penyelesaian:
(a) Karena PBB(4, 9) = 1, maka balikan dari 4 (mod 9) ada. Dari algoritma Euclidean diperoleh bahwa
9 = 2 × 4 + 1
Susun persamaan di atas menjadi
–2 × 4 + 1 × 9 = 1
Dari persamaan terakhir ini kita peroleh –2 adalah balikan dari 4 modulo 9. Periksalah bahwa
–2 × 4 º 1 (mod 9) (9 habis membagi –2 × 4 – 1 = –9)
(b) Karena PBB(17, 7) = 1, maka balikan dari 17 (mod 7) ada. Dari algoritma Euclidean diperoleh rangkaian pembagian berikut:
17 = 2 × 7 + 3 (i)
7 = 2 × 3 + 1 (ii)
3 = 3 × 1 + 0 (iii) (yang berarti: PBB(17, 7) = 1) )
Susun (ii) menjadi:
1 = 7 – 2 × 3 (iv)
Susun (i) menjadi
3 = 17 – 2 × 7 (v)
Sulihkan (v) ke dalam (iv):
1 = 7 – 2 × (17 – 2 × 7) = 1 × 7 – 2 × 17 + 4 × 7 = 5 × 7 – 2 × 17
atau
–2 × 17 + 5 × 7 = 1
Dari persamaan terakhir ini kita peroleh –2 adalah balikan dari 17 modulo 7.
–2 × 17 º 1 (mod 7) (7 habis membagi –2 × 17 – 1 = –35)
(c) Karena PBB(18, 10) = 2 ¹ 1, maka balikan dari 18 (mod 10) tidak ada.
Kekongruenan Lanjar
· Kekongruenan lanjar adalah kongruen yang berbentuk
ax º b (mod m)
dengan m adalah bilangan bulat positif, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah peubah bilangan bulat.
· Nilai-nilai x dicari sebagai berikut:
ax = b + km
yang dapat disusun menjadi
dengan k adalah sembarang bilangan bulat. Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang menghasilkan x sebagai bilangan bulat.
Contoh 13.
Tentukan solusi: 4x º 3 (mod 9) dan 2x º 3 (mod 4)
Penyelesaian:
(i) 4x º 3 (mod 9)
k = 0 à x = (3 + 0 × 9)/4 = 3/4 (bukan solusi)
k = 1 à x = (3 + 1 × 9)/4 = 3
k = 2 à x = (3 + 2 × 9)/4 = 21/4 (bukan solusi)
k = 3, k = 4 tidak menghasilkan solusi
k = 5 à x = (3 + 5 × 9)/4 = 12
…
k = –1 à x = (3 – 1 × 9)/4 = –6/4 (bukan solusi)
k = –2 à x = (3 – 2 × 9)/4 = –15/4 (bukan solusi)
k = –3 à x = (3 – 3 × 9)/4 = –6
…
k = –6 à x = (3 – 6 × 9)/4 = –15
…
Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …
(ii) 2x º 3 (mod 4)
Karena 4k genap dan 3 ganjil maka penjumlahannya menghasilkan ganjil, sehingga hasil penjumlahan tersebut jika dibagi dengan 2 tidak menghasilkan bilangan bulat. Dengan kata lain, tidak ada nilai-nilai x yang memenuhi 2x º 3 (mod 5).
Chinese Remainder Problem
Pada abad pertama, seorang matematikawan China yang bernama Sun Tse mengajukan pertanyaan sebagai berikut:
Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11 menyisakan 7.
Pertanyaan Sun Tse dapat dirumuskan kedalam sistem kongruen lanjar:
x º 3 (mod 5)
x º 5 (mod 7)
x º 7 (mod 11)
TEOREMA 5.6. (Chinese Remainder Theorem) Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga PBB(mi, mj) = 1 untuk i ¹ j. Maka sistem kongruen lanjar
x º ak (mod mk)
mempunyai sebuah solusi unik modulo m = m1 × m2 × … × mn.
Contoh 14.
Tentukan solusi dari pertanyaan Sun Tse di atas.
Penyelesaian:
Menurut persamaan (5.6), kongruen pertama, x º 3 (mod 5), memberikan x = 3 + 5k1 untuk beberapa nilai k. Sulihkan ini ke dalam kongruen kedua menjadi 3 + 5k1 º 5 (mod 7), dari sini kita peroleh k1 º 6 (mod 7), atau k1 = 6 + 7k2 untuk beberapa nilai k2. Jadi kita mendapatkan x = 3 + 5k1 = 3 + 5(6 + 7k2) = 33 + 35k2 yang mana memenuhi dua kongruen pertama. Jika x memenuhi kongruen yang ketiga, kita harus mempunyai 33 + 35k2 º 7 (mod 11), yang mengakibatkan k2 º 9 (mod 11) atau k2 = 9 + 11k3. Sulihkan k2 ini ke dalam kongruen yang ketiga menghasilkan x = 33 + 35(9 + 11k3) º 348 + 385k3 (mod 11). Dengan demikian, x º 348 (mod 385) yang memenuhi ketiga konruen tersebut. Dengan kata lain, 348 adalah solusi unik modulo 385. Catatlah bahwa 385 = 5 × 7 × 11.
Solusi unik ini mudah dibuktikan sebagai berikut. Solusi tersebut modulo m = m1 × m2 × m3 = 5 × 7 × 11 = 5 × 77 = 11 × 35. Karena 77 3 º 1 (mod 5), 55 × 6 º 1 (mod 7), dan 35 × 6 º 1 (mod 11), solusi unik dari sistem kongruen tersebut adalah
x º 3 × 77 × 3 + 5 × 55 × 6 + 7 × 35 × 6 (mod 385)
º 3813 (mod 385) º 348 (mod 385)
Aritmetika Modulo dan Kriptografi
Aritmetika modulo cocok digunakan untuk kriptografi karena dua alasan:
1. Oleh karena nilai-nilai aritmetika modulo berada dalam himpunan berhingga (0 sampai modulus m – 1), maka kita tidak perlu khawatir hasil perhitungan berada di luar himpunan.
2. Karena kita bekerja dengan bilangan bulat, maka kita tidak khawatir kehilangan informasi akibat pembulatan (round off) sebagaimana pada operasi bilangan riil.
Bilangan Prima
· Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.
· Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.
· Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.
· Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.
Teorema 3. (The Fundamental Theorem of Arithmetic). Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.
Contoh 15.
9 = 3 ´ 3 (2 buah faktor prima)
100 = 2 ´ 2 ´ 5 ´ 5 (4 buah faktor prima)
13 = 13 (atau 1 ´ 13) (1 buah faktor prima)
· Untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau komposit, kita cukup membagi n dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3, … , bilangan prima £ Ön. Jika n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan komposit, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima.
Contoh 16.
Tunjukkan apakah (i) 171 dan (ii) 199 merupakan bilangan prima atau komposit.
Penyelesaian:
(i) Ö171 = 13.077. Bilangan prima yang £ Ö171 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 171 habis dibagi 3, maka 171 adalah bilangan komposit.
(ii) Ö199 = 14.107. Bilangan prima yang £ Ö199 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima.
· Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu bilangan bulat, yang terkenal dengan Teorema Fermat. Fermat (dibaca “Fair-ma”) adalah seorang matematikawan Perancis pada tahun 1640.
Teorema 4 (Teorema Fermat). Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka
ap–1 º 1 (mod p)
Contoh 17.
Kita akan menguji apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan. Di sini kita mengambil nilai a = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1. Untuk 17,
217–1 = 65536 º 1 (mod 17)
karena 17 tidak membagi 65536 – 1 = 65535 (65535 17 = 3855).
Untuk 21,
221–1 =1048576 º\ 1 (mod 21)
karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 = 1048575.
· Kelemahan Teorema Fermat: terdapat bilangan komposit n sedemikian sehingga 2n–1 º 1 (mod n). Bilangan bulat seperti itu disebut bilangan prima semu (pseudoprimes).
· Misalnya komposit 341 (yaitu 341 = 11 × 31) adalah bilangan prima semu karena menurut teorema Fermat,
2340 º 1 (mod 341)
Untunglah bilangan prima semu relatif jarang terdapat.
Contoh 18.
Periksalah bahwa (i) 316 º 1 (mod 17) dan (ii) 186 º 1 (mod 49).
Penyelesaian:
(i) Dengan mengetahui bahwa kongruen 33 º 10 (mod 17), kuadratkan kongruen tersebut menghasilkan
36 º 100 º –2 (mod 17)
Kuadratkan lagi untuk menghasilkan
312 º 4 (mod 17)
Dengan demikian, 316 º 312 × 33 × 3 º 4 × 10 × 3 º 120 º 1 (mod 17)
(ii) Caranya sama seperti penyelesaian (i) di atas:
182 º 324 º 30 (mod 49)
184 º 900 º 18 (mod 49)
186 º 184 × 182 º 18 × 30 º 540 º 1 (mod 49)
Fungsi Euler f
Fungsi Euler f medefinisikan f(n) untuk n ³ 1 yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif < n =" 1," n =" pq" 21 =" 7" 2 =" 12"> 0, maka f(pk) = pk – pk-1 = pk-1(p – 1) .
Contoh 22.
Tentukan f(16).
Penyelesaian:
Karena f(16) = f(24) = 24 – 23 = 16 – 8 = 8, maka ada delapan buah bilangan bulat yang relatif prima terhadap 16, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Teorema 7 (Euler’s generalization of Fermat theorem). Jika PBB(a, n) = 1, maka
af(n) mod n = 1 (atau af(n) º 1 (mod n) )
· Teori bilangan (number theory) adalah teori yang mendasar dalam memahami algoritma kriptografi
· Bilangan yang dimaksudkan adalah bilangan bulat (integer)
Bilangan Bulat
· Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0
· Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.
Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
· Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat a ¹ 0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.
· Notasi: a b jika b = ac, c Î Z dan a ¹ 0. (Z = himpunan bilangan bulat)
· Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga “b kelipatan a”.
· Contoh 1: 4 12 karena 12 4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 ´ 3. Tetapi 4 13 karena 13 4 = 3.25 (bukan bilangan bulat).
Teorema 1 (Teorema Euclidean). Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga
m = nq + r (1)
dengan 0 £ r < 1987 =" 97" 22 =" 3(–8)" 22 =" 3(–7)" r =" –1" n =" 0" m =" 80," n =" 12" nb =" 1" 3 =" 1" m =" 2" n =" –13." 5 =" 1."> 0. Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m.
· Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 £ r < 5 =" 3" 23 =" 5" 3 =" 0" 27 =" 3" 8 =" 6" 6 =" 8" 12 =" 0" 0 =" 12" 9 =" 4" 41 =" 9" 13 =" 0" 39 =" 13(–3)" m =" m" 9 =" 5," 9 =" 9" 5 =" 4." 5 =" 3" 5 =" 3,"> 0, maka a º b (mod m) jika m habis membagi a – b.
· Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a º/ b (mod m) .
Contoh 8.
17 º 2 (mod 3) ( 3 habis membagi 17 – 2 = 15)
–7 º 15 (mod 11) (11 habis membagi –7 – 15 = –22)
12 º/ 2 (mod 7) (7 tidak habis membagi 12 – 2 = 10 )
–7 º/ 15 (mod 3) (3 tidak habis membagi –7 – 15 = –22)
· Kekongruenan a º b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan
a = b + km (3)
yang dalam hal ini k adalah bilangan bulat.
Contoh 9.
17 º 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5 × 3
–7 º 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2)11
· Berdasarkan definisi aritmetika modulo, kita dapat menuliskan a mod m = r sebagai
a º r (mod m)
Contoh 10.
Beberapa hasil operasi dengan operator modulo berikut:
(i) 23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 º 3 (mod 5)
(ii) 27 mod 3 = 0 dapat ditulis sebagai 27 º 0 (mod 3)
(iii) 6 mod 8 = 6 dapat ditulis sebagai 6 º 6 (mod 8)
(iv) 0 mod 12 = 0 dapat ditulis sebagai 0 º 0 (mod 12)
(v) – 41 mod 9 = 4 dapat ditulis sebagai –41 º 4 (mod 9)
(vi) – 39 mod 13 = 0 dapat ditulis sebagai – 39 º 0 (mod 13)
Teorema 2. Misalkan m adalah bilangan bulat positif.
1. Jika a º b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka
(i) (a + c) º (b + c) (mod m)
(ii) ac º bc (mod m)
(iii) ap º bp (mod m) untuk suatu bilangan bulat tak negatif p.
2. Jika a º b (mod m) dan c º d (mod m), maka
(i) (a + c) º (b + d) (mod m)
(ii) ac º bd (mod m)
Bukti (hanya untuk 1(ii) dan 2(i) saja):
1(ii) a º b (mod m) berarti:
Û a = b + km
Û a – b = km
Û (a – b)c = ckm
Û ac = bc + Km
Û ac º bc (mod m) ¾
2(i) a º b (mod m) Û a = b + k1m
c º d (mod m) Û c = d + k2m +
Û (a + c) = (b + d) + (k1 + k2)m
Û (a + c) = (b + d) + km ( k = k1 + k2)
Û (a + c) = (b + d) (mod m) ¾
Contoh 11.
Misalkan 17 º 2 (mod 3) dan 10 º 4 (mod 3), maka menurut Teorema 2,
17 + 5 = 2 + 5 (mod 3) Û 22 = 7 (mod 3)
17 . 5 = 5 × 2 (mod 3) Û 85 = 10 (mod 3)
17 + 10 = 2 + 4 (mod 3) Û 27 = 6 (mod 3)
17 . 10 = 2 × 4 (mod 3) Û 170 = 8 (mod 3)
· Perhatikanlah bahwa Teorema 2 tidak memasukkan operasi pembagian pada aritmetika modulo karena jika kedua ruas dibagi dengan bilangan bulat, maka kekongruenan tidak selalu dipenuhi. Misalnya:
(i) 10 º 4 (mod 3) dapat dibagi dengan 2 karena 10/2 = 5 dan 4/2 = 2, dan 5 º 2 (mod 3)
(ii) 14 º 8 (mod 6) tidak dapat dibagi dengan 2, karena 14/2 = 7 dan 8/2 = 4, tetapi 7 º/ 4 (mod 6).
Balikan Modulo (modulo invers)
· Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari a modulo m. Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat sedemikian sehingga
a º 1 (mod m)
Bukti: Dari definisi relatif prima diketahui bahwa PBB(a, m) = 1, dan menurut persamaan (2) terdapat bilangan bulat p dan q sedemikian sehingga
pa + qm = 1
yang mengimplikasikan bahwa
pa + qm º 1 (mod m)
Karena qm º 0 (mod m), maka
pa º 1 (mod m)
Kekongruenan yang terakhir ini berarti bahwa p adalah balikan dari a modulo m. ¾
· Pembuktian di atas juga menceritakan bahwa untuk mencari balikan dari a modulo m, kita harus membuat kombinasi lanjar dari a dan m sama dengan 1. Koefisien a dari kombinasi lanjar tersebut merupakan balikan dari a modulo m.
Contoh 12.
Tentukan balikan dari 4 (mod 9), 17 (mod 7), dan 18 (mod 10).
Penyelesaian:
(a) Karena PBB(4, 9) = 1, maka balikan dari 4 (mod 9) ada. Dari algoritma Euclidean diperoleh bahwa
9 = 2 × 4 + 1
Susun persamaan di atas menjadi
–2 × 4 + 1 × 9 = 1
Dari persamaan terakhir ini kita peroleh –2 adalah balikan dari 4 modulo 9. Periksalah bahwa
–2 × 4 º 1 (mod 9) (9 habis membagi –2 × 4 – 1 = –9)
(b) Karena PBB(17, 7) = 1, maka balikan dari 17 (mod 7) ada. Dari algoritma Euclidean diperoleh rangkaian pembagian berikut:
17 = 2 × 7 + 3 (i)
7 = 2 × 3 + 1 (ii)
3 = 3 × 1 + 0 (iii) (yang berarti: PBB(17, 7) = 1) )
Susun (ii) menjadi:
1 = 7 – 2 × 3 (iv)
Susun (i) menjadi
3 = 17 – 2 × 7 (v)
Sulihkan (v) ke dalam (iv):
1 = 7 – 2 × (17 – 2 × 7) = 1 × 7 – 2 × 17 + 4 × 7 = 5 × 7 – 2 × 17
atau
–2 × 17 + 5 × 7 = 1
Dari persamaan terakhir ini kita peroleh –2 adalah balikan dari 17 modulo 7.
–2 × 17 º 1 (mod 7) (7 habis membagi –2 × 17 – 1 = –35)
(c) Karena PBB(18, 10) = 2 ¹ 1, maka balikan dari 18 (mod 10) tidak ada.
Kekongruenan Lanjar
· Kekongruenan lanjar adalah kongruen yang berbentuk
ax º b (mod m)
dengan m adalah bilangan bulat positif, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah peubah bilangan bulat.
· Nilai-nilai x dicari sebagai berikut:
ax = b + km
yang dapat disusun menjadi
dengan k adalah sembarang bilangan bulat. Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang menghasilkan x sebagai bilangan bulat.
Contoh 13.
Tentukan solusi: 4x º 3 (mod 9) dan 2x º 3 (mod 4)
Penyelesaian:
(i) 4x º 3 (mod 9)
k = 0 à x = (3 + 0 × 9)/4 = 3/4 (bukan solusi)
k = 1 à x = (3 + 1 × 9)/4 = 3
k = 2 à x = (3 + 2 × 9)/4 = 21/4 (bukan solusi)
k = 3, k = 4 tidak menghasilkan solusi
k = 5 à x = (3 + 5 × 9)/4 = 12
…
k = –1 à x = (3 – 1 × 9)/4 = –6/4 (bukan solusi)
k = –2 à x = (3 – 2 × 9)/4 = –15/4 (bukan solusi)
k = –3 à x = (3 – 3 × 9)/4 = –6
…
k = –6 à x = (3 – 6 × 9)/4 = –15
…
Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …
(ii) 2x º 3 (mod 4)
Karena 4k genap dan 3 ganjil maka penjumlahannya menghasilkan ganjil, sehingga hasil penjumlahan tersebut jika dibagi dengan 2 tidak menghasilkan bilangan bulat. Dengan kata lain, tidak ada nilai-nilai x yang memenuhi 2x º 3 (mod 5).
Chinese Remainder Problem
Pada abad pertama, seorang matematikawan China yang bernama Sun Tse mengajukan pertanyaan sebagai berikut:
Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11 menyisakan 7.
Pertanyaan Sun Tse dapat dirumuskan kedalam sistem kongruen lanjar:
x º 3 (mod 5)
x º 5 (mod 7)
x º 7 (mod 11)
TEOREMA 5.6. (Chinese Remainder Theorem) Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga PBB(mi, mj) = 1 untuk i ¹ j. Maka sistem kongruen lanjar
x º ak (mod mk)
mempunyai sebuah solusi unik modulo m = m1 × m2 × … × mn.
Contoh 14.
Tentukan solusi dari pertanyaan Sun Tse di atas.
Penyelesaian:
Menurut persamaan (5.6), kongruen pertama, x º 3 (mod 5), memberikan x = 3 + 5k1 untuk beberapa nilai k. Sulihkan ini ke dalam kongruen kedua menjadi 3 + 5k1 º 5 (mod 7), dari sini kita peroleh k1 º 6 (mod 7), atau k1 = 6 + 7k2 untuk beberapa nilai k2. Jadi kita mendapatkan x = 3 + 5k1 = 3 + 5(6 + 7k2) = 33 + 35k2 yang mana memenuhi dua kongruen pertama. Jika x memenuhi kongruen yang ketiga, kita harus mempunyai 33 + 35k2 º 7 (mod 11), yang mengakibatkan k2 º 9 (mod 11) atau k2 = 9 + 11k3. Sulihkan k2 ini ke dalam kongruen yang ketiga menghasilkan x = 33 + 35(9 + 11k3) º 348 + 385k3 (mod 11). Dengan demikian, x º 348 (mod 385) yang memenuhi ketiga konruen tersebut. Dengan kata lain, 348 adalah solusi unik modulo 385. Catatlah bahwa 385 = 5 × 7 × 11.
Solusi unik ini mudah dibuktikan sebagai berikut. Solusi tersebut modulo m = m1 × m2 × m3 = 5 × 7 × 11 = 5 × 77 = 11 × 35. Karena 77 3 º 1 (mod 5), 55 × 6 º 1 (mod 7), dan 35 × 6 º 1 (mod 11), solusi unik dari sistem kongruen tersebut adalah
x º 3 × 77 × 3 + 5 × 55 × 6 + 7 × 35 × 6 (mod 385)
º 3813 (mod 385) º 348 (mod 385)
Aritmetika Modulo dan Kriptografi
Aritmetika modulo cocok digunakan untuk kriptografi karena dua alasan:
1. Oleh karena nilai-nilai aritmetika modulo berada dalam himpunan berhingga (0 sampai modulus m – 1), maka kita tidak perlu khawatir hasil perhitungan berada di luar himpunan.
2. Karena kita bekerja dengan bilangan bulat, maka kita tidak khawatir kehilangan informasi akibat pembulatan (round off) sebagaimana pada operasi bilangan riil.
Bilangan Prima
· Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.
· Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.
· Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.
· Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.
Teorema 3. (The Fundamental Theorem of Arithmetic). Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.
Contoh 15.
9 = 3 ´ 3 (2 buah faktor prima)
100 = 2 ´ 2 ´ 5 ´ 5 (4 buah faktor prima)
13 = 13 (atau 1 ´ 13) (1 buah faktor prima)
· Untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau komposit, kita cukup membagi n dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3, … , bilangan prima £ Ön. Jika n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan komposit, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima.
Contoh 16.
Tunjukkan apakah (i) 171 dan (ii) 199 merupakan bilangan prima atau komposit.
Penyelesaian:
(i) Ö171 = 13.077. Bilangan prima yang £ Ö171 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 171 habis dibagi 3, maka 171 adalah bilangan komposit.
(ii) Ö199 = 14.107. Bilangan prima yang £ Ö199 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima.
· Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu bilangan bulat, yang terkenal dengan Teorema Fermat. Fermat (dibaca “Fair-ma”) adalah seorang matematikawan Perancis pada tahun 1640.
Teorema 4 (Teorema Fermat). Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dengan p, yaitu PBB(a, p) = 1, maka
ap–1 º 1 (mod p)
Contoh 17.
Kita akan menguji apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan. Di sini kita mengambil nilai a = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1. Untuk 17,
217–1 = 65536 º 1 (mod 17)
karena 17 tidak membagi 65536 – 1 = 65535 (65535 17 = 3855).
Untuk 21,
221–1 =1048576 º\ 1 (mod 21)
karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 = 1048575.
· Kelemahan Teorema Fermat: terdapat bilangan komposit n sedemikian sehingga 2n–1 º 1 (mod n). Bilangan bulat seperti itu disebut bilangan prima semu (pseudoprimes).
· Misalnya komposit 341 (yaitu 341 = 11 × 31) adalah bilangan prima semu karena menurut teorema Fermat,
2340 º 1 (mod 341)
Untunglah bilangan prima semu relatif jarang terdapat.
Contoh 18.
Periksalah bahwa (i) 316 º 1 (mod 17) dan (ii) 186 º 1 (mod 49).
Penyelesaian:
(i) Dengan mengetahui bahwa kongruen 33 º 10 (mod 17), kuadratkan kongruen tersebut menghasilkan
36 º 100 º –2 (mod 17)
Kuadratkan lagi untuk menghasilkan
312 º 4 (mod 17)
Dengan demikian, 316 º 312 × 33 × 3 º 4 × 10 × 3 º 120 º 1 (mod 17)
(ii) Caranya sama seperti penyelesaian (i) di atas:
182 º 324 º 30 (mod 49)
184 º 900 º 18 (mod 49)
186 º 184 × 182 º 18 × 30 º 540 º 1 (mod 49)
Fungsi Euler f
Fungsi Euler f medefinisikan f(n) untuk n ³ 1 yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif < n =" 1," n =" pq" 21 =" 7" 2 =" 12"> 0, maka f(pk) = pk – pk-1 = pk-1(p – 1) .
Contoh 22.
Tentukan f(16).
Penyelesaian:
Karena f(16) = f(24) = 24 – 23 = 16 – 8 = 8, maka ada delapan buah bilangan bulat yang relatif prima terhadap 16, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Teorema 7 (Euler’s generalization of Fermat theorem). Jika PBB(a, n) = 1, maka
af(n) mod n = 1 (atau af(n) º 1 (mod n) )
Jumat, November 21, 2008
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 Februari 1805 – 5 Mei 1859) ialah matematikawan Jerman yang dihargai karena definisi "formal" modern dari fungsi.
Keluarganya berasal dari kota Richelet di Belgia, dari yang nama belakangnya "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelet" = "anak muda dari Richelet") diturunkan, dan di mana kakeknya tinggal.
Dirichlet lahir di Düren, di mana ayahnya merupakan kepala kantor pos. Ia mendapatkan pendidikan di Jerman, dan kemudian Prancis, di mana ia belajar dari banyak matematikawan terkemuka saat itu. Karya pertamanya ialah pada teorema akhir Fermat. Inilah konjektur terkenal (kini terbukti) yang menyatakan bahwa untuk n > 2, persamaan xn + yn = zn tak memiliki solusi bilangan bulat, selain daripada yang trivial yang mana x, y, atau z itu 0. Ia membuat bukti parsial untuk kasus n = 5, yang dilengkapi oleh Adrien-Marie Legendre, yang merupakan salah satu wasit. Dirichlet juga melengkapi pembuktiannya sendiri hampir di saat yang sama; kemudian ia juga menciptakan bukti penuh untuk kasus n = 14.
Ia menikahi Rebecca Mendelssohn, yang berasal dari keluarga Yahudi berpengaruh, menjadi cucu filsuf Moses Mendelssohn, dan saudari komponis Felix Mendelssohn.
Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, dan Rudolf Lipschitz ialah muridnya. Setelah kematiannya, ceramah Dirichlet dan hasil lain dalam teori bilangan dikumpulkan, disunting dan diterbitkan oleh kawannya dan matematikawan Richard Dedekind dengan judul Vorlesungen über Zahlentheorie (Ceramah pada Teori Bilangan).
Keluarganya berasal dari kota Richelet di Belgia, dari yang nama belakangnya "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelet" = "anak muda dari Richelet") diturunkan, dan di mana kakeknya tinggal.
Dirichlet lahir di Düren, di mana ayahnya merupakan kepala kantor pos. Ia mendapatkan pendidikan di Jerman, dan kemudian Prancis, di mana ia belajar dari banyak matematikawan terkemuka saat itu. Karya pertamanya ialah pada teorema akhir Fermat. Inilah konjektur terkenal (kini terbukti) yang menyatakan bahwa untuk n > 2, persamaan xn + yn = zn tak memiliki solusi bilangan bulat, selain daripada yang trivial yang mana x, y, atau z itu 0. Ia membuat bukti parsial untuk kasus n = 5, yang dilengkapi oleh Adrien-Marie Legendre, yang merupakan salah satu wasit. Dirichlet juga melengkapi pembuktiannya sendiri hampir di saat yang sama; kemudian ia juga menciptakan bukti penuh untuk kasus n = 14.
Ia menikahi Rebecca Mendelssohn, yang berasal dari keluarga Yahudi berpengaruh, menjadi cucu filsuf Moses Mendelssohn, dan saudari komponis Felix Mendelssohn.
Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, dan Rudolf Lipschitz ialah muridnya. Setelah kematiannya, ceramah Dirichlet dan hasil lain dalam teori bilangan dikumpulkan, disunting dan diterbitkan oleh kawannya dan matematikawan Richard Dedekind dengan judul Vorlesungen über Zahlentheorie (Ceramah pada Teori Bilangan).
Kamis, November 20, 2008
persegi
MAKALAH KUMPULAN BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG
DISUSUN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH
FILSAPAT MATEMATIKA
OLEH:
SUHENDI
0701125129
DOSEN:
Drs. HARTANA
PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN dan ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH ( UHAMKA )
PASAR REBO JAKARTA TIMUR
Resensi ini telah disetujui oleh pembimbingnya untuk dipertahankanoleh mahasiswa penyusunnya dalam ujian akhir semesternya.
Jakarta, july 2008
Pembimbing
Yamin.S.Pd
KATA PENGANTAR
Assalammualaikum Warrohmatullahi Wabarokatuh
Dengan menucapkan rasa syukur Alhamdulillah saya panjatkan kehadhirat Allah subhanahu Wata’ala, karena atas karunia dan hidayahNYa, sehingga resensi dengan judul “resensi menulis proposal dan laporan” dapat diselesaikan.
Resensi ini disusun dan diajukan kepada dosen pembimbing guna melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh nilai ujian akhir semester (UAS).
Dalam penyusunan resensi ini penulis mendapat bantuan dari beberapa pihak yang sangat menunjang, untuk itu penulis sampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Bapak Yamin.S.Pd selaku dosen mata pelajaran dan pembimbing
Ayah dan Bunda yang telah banyak meberikan bantuan baik secara moril maupun materil dalam menyelesaikan resensi ini
Devi Fajar Leatari yang telah banyak membantu dan memberikan dorongannya dari awal penulisan hingga selesai
Teman-teman matematika kelas 2E yang membantu dalam penyelesaian resensi ini.
mudah-mudahan bantuan dan bimbingannya yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan imbalan dari Alla SWT.
Akhirnya penulis menyadari, resensi ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangundari pembacasangat penulis harapkan.
Wassalamualaikum Warrohmatullahi Wabarokatuhu.
Jakarta, juli 2008
Penulis
DAFTAR ISI
Lembar persetujuan dosen pembimbing ………………………………… i
Kata pengantar …………………………………………………………… ii
Daftar isi………………………………………………………………… iii
BAB I. Pendahuluan…………………………………………….. 1
BAB II Telaah pustaka…………………………………………... 2
1. Sasaran…………………………………………………………… 2
o 1.1. Mengapa menetapkan sasaran……………………… 2
o 1.2. Menyelaraskan proposal atau laporan…………… . 3
o 1.2.a. Mempertahankan focus yang jelas………………… 3
o 1.2.b Mudah diteliti………………………………………. 3
o 1.2.c Lebih mudah ditulis……………………………….. 4
o 1.2.d Lebih mudah dibaca………………………………… 4
o 1.3. Menetapkan sasaran…………………………………. 4
o 1.4. Menulis proposal yang benar………………………… 4
2. Mengumpulkan informasi…………………………………………. 5
o 2.1. penelitian………………………………………………….. 5
o 2.1.a Informasi apa yang Anda butuhkan………………………. 5
o 2.1.b Jangan cari gampangnya saja…………………………… 5
o 2.1.c Dari mana Anda akan mendapatkan informasi……………. 6
o 2.1.d Argumen apa yang akan Anda ajujan………………………. 6
o 2.2 Pengorganisasian………………………………………………. 6
o 2.2.a Menyusun………………………………………………… 6
o 2.2.b Memilah kedalam kelompok kelompok………………….. 7
3. Struktur I: Proposal…………………………………………………. 7
o 3.1. Posisi: Dimana kita berada sekarang…………………….. 7
o 3.2. Problem: Mengapa kita tidak bisa tetap seperti ini………. 7
o 3.3. Peluang: Semua tempat yang bisa kita datangi……………. 7
o 3.4. Proposal: Arah terbaik untuk dipilih………………………. 8
4. Struktur II Laporan…………………………………………………… 8
o 4.1. Laporan penelitian…………………………………………. 8
o 4.2. Laporan yang hanya informasi……………………………. 8
5. Kekuatan persuasi……………………………………………………. 9
o 5.1. Menunjukan bahwa Anda difihak mereka………………… 9
o 5.2. Mengarahkan mereka ke pihak Anda………………………
6. Menggunakan bahasa yang mudah dimengerti I: gaya penulisan……. 9
o 6.1. Pendekatan umum…………………………………………. 10
o 6.2. Frasa sebuan kalimat………………………………………. 10
o 6.3. Kata-kata……………………………………………………. 10
7. Menggunakan bahasa yang mudah dimengerti II: teknis……………. 10
8. Membuat laporan atau proposal mudah dibaca………………………. 11
o 8.1. Tata letak………………………………………………….. 11
o 8.2. Gunakan lampiran…………………………………………. 12
o 8.3 menggunakan lampiran dan grafik………………………… 12
o 8.4. menggunakan flowchart…………………………………….. 13
9. Bagian pembuka dan penutup………………………………………… 13
10. BAB IV Analisis………………………………………………. 14
11. BAB V Kesimpulan dan saran
o Kesimpulan……………………………………………………… 27
o Saran…………………………………………………………… 28
12. Daftar pustaka………………………………………………………….. 29
Persegi panjang
I. sifat-sifat persegi panjang
o Dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya.
o Memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
o Memiliki dua sumbu simetri
o Kedua diagonalnya sama panjang saling membagi dua sama panjang
o Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang (p) dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar (l).
o Persegi Panjang dapat menempati bingkainya dengan 4 cara, yaitu
1. Memutar satu putaran penuh
2. Memutar setengah putaran
3. Membalik secara horizontal
4. Membalik secara vertical
II. Rumus persegi panjang
Misalkan panjang persegi panjang tersebut ‘P’, dan lebarnya l. maka rumus persegi
L= p x l
K= 2P + 2l → = 2 ( p + l ) panjang diatas adalah sebagai berikut ;
PERSEGI
I. sifat-sifat persegi
o Dibentuk oleh empat buah rusuk (a) yang sama panjang
o Memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
o Kedua diagonalnya sama panjang saling membagi dua sama panjang
o Setiap sudutnya dibagi 2 sama besar oleh diagonal-diagonalnya
o Memiliki dua sumbu simetri
o Digonal-diagonalnya saling tegak lurus
o Cara Persegi menempati bingkainya
1. Memutar Seperempat Putaran
2. Memutar setengah putaran
3. Memutar tigaperempat putaran
4. Memutar satu putaran penuh
II. rumus persegi
Jika kita misalkan panjang rusuk persegi disamping adalah (a), maka perumusan untuk persegi adalah sebagi berikut;
K = a + a + a + a → = 4a
L = a x a
LAYANG LAYANG
I. sifat-sifat laying-layang
o dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.
o Mempunyai dua diagonal yang berbeda ukuran
o Kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus
o Diagonal-diagonalnya saling membagi sudut sama besarnya
o Sudut yang berhadapan sama besarnya
o Memiliki satu sumbu simetri
o Memiliki satu sumbu putar
o Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
II. Rumus Layang-layang
Jika kita misalkan kedua pasanga rusuk yang sama panjang itu kita umpamakan sebagai (S1) dan (S2) maka perumusan untuk laying-lyang adalah
JAJAR GENJANG
I. sifat-sifat jajar genjang
o Dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya,
o memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.
o Memiliki dua diagonal
o Kedua diagonalnya saling membagidua sudut dan sama besarnya
o Memiliki satu sumbu simetri
o Memiliki dua sumbu putar
o Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
II. Rumus jajar genjang
Kita misalkan pasangan rusuk yang mendatar atau horizontal kita sebut sebagai sisi alas (a) dan pasangan rusuk lainnya sebagai sisi miring. Maka rumus jajargenjang adalah;
TRAPESIUM
I. sifat-sifat trapesium
o Dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua diantaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.
o Tidak memiliki sumbu simetri
o Hanya memiliki satu sumbu putar
o Trapesium yang rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku.
II. Rumus trapezium
Karena keempat rusuknya mempunyai ukuran yang berbeda, maka rumus trapezium adalah sebagai berikut.
SEGI TIGA
segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut ainnya sudah diketahui.
I.
//
Klasifikasi segitiga Menurut panjang sisinya:
o Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.
o Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.
o Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.
II. Menurut besar sudut terbesarnya:
o Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya sama dengan 90o. Sisi di depan sudut 90o disebut hipotenusa atau sisi miring.
o Segitiga lancip adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya < 90o
o Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya > 90o
III. Mencari luas dan keliling segitiga
o Teorema Heron
Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.
o Segitiga sama sisi
Untuk mencari luas dan keliling segitiga sama sisi yang bersisi a dapat digunakan rumus sebagai berikut:
o Dalil Pythagoras
o
Segitiga siku-siku
Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan bahwa:
LINGKARAN
Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
I.
//
Elemen lingkaran
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:
o Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)merupakan sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.
o Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busurmerupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB).
3. Busur (B)merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
o Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3. Cakram (C)merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
II. Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan
dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.
Persamaan parametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.
III. Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu;
Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.
IV. Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
V. Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
di mana digunakan
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
VI. Pi atau π
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
VII. Lingkaran dalam dan luar segitiga
Suatu lingkaran yang berada di dalam segitiga serta menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut disebut lingkaran dalam segitiga. Jari-jari lingkaran dalam segitiga bisa dicari dengan rumus:
dimana r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga, L adalah luas segitiga dan s adalah setengah keliling segitiga.
Suatu lingkaran yang berada di luar segitiga serta keliling lingkaran tersebut menyinggung perpotongan tiga garis segitiga disebut lingkaran luar segitiga. Jari-jadi lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan rumus:
dimana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga; a, b dan c adalah tiga sisi segitiga dan L adalah luas segitiga.
BUJUR SANGKAR
BALOK
I. sifat- sifat balok
o Balok dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda.
o Jumlah rusuk balok adalah 12 rusuk
o Memiliki enam pasang rusuk yang saling sejajar
o Memiliki 6 pasang diagonal sisi
o Setiap diagonal sisinya saling berpotongan dan sama panjang
o Memiliki 4 diagonal ruang
o Mempunyai enam bidang diagonal
o Mempunyai 8 titik sudut
o Setiap sudutnya membentuk sudut yang berpenyiku = 90°
o Balok yang dibentuk oleh enam persegi sama dan sebangun disebut sebagai kubus.
Diagonal Ruang b-h danDiagonal Bidang b-g
II.
//
Elemen balok
o Panjang (p) adalah rusuk terpanjang dari alas balok.
o Lebar (l) adalah rusuk terpendek dari sisi alas balok.
o Tinggi (t) adalah rusuk yang tegak lurus terhadap panjang dan lebar balok.
III. Rumus balok
Jika kita umpamakan panjang rusuk (P), lebar (l) dan tinggi (t). maka rumus dari balok dapat disederhanakan sebagai berikut;
Volum balok =
Luas permukaan =
Panjang diagonal ruang =
diagonal bidang =
Luas bidang diagonal =
KUBUS
I. sifat-sifat kubus
o Dibentuk oleh tiga pasang bujur sangkar yang kongruen
o Memiliki 12 rusuk yang sama panjang
o Memiliki 6 pasang diagonal sisi yang sama panjang
o Diagonal sisinya saling berpotongan dan sama panjang
o Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang
o Memiliki 6 bidang diagonal
o Memilikin 6 pasang rusuk yang sejajar
o Setiap sudutnya membentuk sudut berpenyiku = 90°
II. Rumus
Karena setiap rusuknya mempunyai ukuran panjang yang sama maka persamaan kubus dapat disederhanakan sebagai berikut;
Missal panjang setiap rusuknya adalah (S), maka
V = S x S x S → = S³
o Volum kubus =
L = 6 ( S x S ) → = 6S²
o Luas permukaan =
o
dR= ( S² + S² + S²)^½ → = 3S² ^½Diagonal ruang =
( dB = (S² + S²)^½
o Diagonal bidang =
PRISMA
Dalam geometri, prisma adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Dengan kata lain prisma adalah bangun ruang yang mempunyai penampang melintang yang selalu sama dalam bentuk dan ukuran.
I. sifat sifat prisma
o bidang alas dan atasnya kongruen, dan sejajar, sehingga pada bidang alas dan alasnya yang berhadapan sama dan sejajar,
o rusuk tegak masing masingnya sama dan sejajar
o prisma tegak adalah prisma yang bidang sisi alas dan atasnya tegak lurus rusuk tegaknya
o prisma miring adalah prisma yang bidang alas dan atasnya tidak tegak lurus terhadap rusuk tegaknya
o nama prisma disesuaikan denagn bentuk alas atau atasnya, jika alasnya berbentuk segitiga , maka disebut prisma segitiga
o prisma beraturan adalah prisma tegak yang bidang alas dan atasnya merupakan segi beraturan
o banyaknya sisi segi n ada =( n + 2) sisi
II. Rumus prisma
o Luas permukaan prisma dengan alas dan tutup segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:
o Volume
LIMAS
I. Sifat-sifat limas
o Dalam geometri, limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga.
o Kerucut dapat disebut sebagai limas dengan alas berbentuk lingkaran.
o Limas dengan alas berupa persegi disebut juga piramida.
o Mempunyai (n + 1) titik sudut
o Mempunyai (n + 1)_sisi
Rumus limas
o Luas permukaan
Luas permukaan limas dengan alas segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:
o Volume
TABUNG
o Dalam geometri, tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut.
o Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.
Rumus tabung
o Luas permukaan
o Volume
KRUCUT
o Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran.
o Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.
Rumus kerucut
o Luas permukaan
o Volume
BOLA
Dalam geometri, bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada satu titik yang sama.
Rumus bola
o Luas permukaan
o Volume
DAFTAR PUSTAKA
asyono. 2003. Matematika 3A SLTP. Jakarta: bumi aksara
armawi, k. penyelesaian matematika smp jilid 3. bandung: CV. armico
setya wono,b. 2004. langkah awal menuju ke olimpiade matematika. Jakarta: CV. Ricardo
internet, diambil senin 14 juli 2008 dari www.wikipedia.com
DISUSUN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH
FILSAPAT MATEMATIKA
OLEH:
SUHENDI
0701125129
DOSEN:
Drs. HARTANA
PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN dan ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH ( UHAMKA )
PASAR REBO JAKARTA TIMUR
Resensi ini telah disetujui oleh pembimbingnya untuk dipertahankanoleh mahasiswa penyusunnya dalam ujian akhir semesternya.
Jakarta, july 2008
Pembimbing
Yamin.S.Pd
KATA PENGANTAR
Assalammualaikum Warrohmatullahi Wabarokatuh
Dengan menucapkan rasa syukur Alhamdulillah saya panjatkan kehadhirat Allah subhanahu Wata’ala, karena atas karunia dan hidayahNYa, sehingga resensi dengan judul “resensi menulis proposal dan laporan” dapat diselesaikan.
Resensi ini disusun dan diajukan kepada dosen pembimbing guna melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh nilai ujian akhir semester (UAS).
Dalam penyusunan resensi ini penulis mendapat bantuan dari beberapa pihak yang sangat menunjang, untuk itu penulis sampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Bapak Yamin.S.Pd selaku dosen mata pelajaran dan pembimbing
Ayah dan Bunda yang telah banyak meberikan bantuan baik secara moril maupun materil dalam menyelesaikan resensi ini
Devi Fajar Leatari yang telah banyak membantu dan memberikan dorongannya dari awal penulisan hingga selesai
Teman-teman matematika kelas 2E yang membantu dalam penyelesaian resensi ini.
mudah-mudahan bantuan dan bimbingannya yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan imbalan dari Alla SWT.
Akhirnya penulis menyadari, resensi ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu kritik dan saran yang bersifat membangundari pembacasangat penulis harapkan.
Wassalamualaikum Warrohmatullahi Wabarokatuhu.
Jakarta, juli 2008
Penulis
DAFTAR ISI
Lembar persetujuan dosen pembimbing ………………………………… i
Kata pengantar …………………………………………………………… ii
Daftar isi………………………………………………………………… iii
BAB I. Pendahuluan…………………………………………….. 1
BAB II Telaah pustaka…………………………………………... 2
1. Sasaran…………………………………………………………… 2
o 1.1. Mengapa menetapkan sasaran……………………… 2
o 1.2. Menyelaraskan proposal atau laporan…………… . 3
o 1.2.a. Mempertahankan focus yang jelas………………… 3
o 1.2.b Mudah diteliti………………………………………. 3
o 1.2.c Lebih mudah ditulis……………………………….. 4
o 1.2.d Lebih mudah dibaca………………………………… 4
o 1.3. Menetapkan sasaran…………………………………. 4
o 1.4. Menulis proposal yang benar………………………… 4
2. Mengumpulkan informasi…………………………………………. 5
o 2.1. penelitian………………………………………………….. 5
o 2.1.a Informasi apa yang Anda butuhkan………………………. 5
o 2.1.b Jangan cari gampangnya saja…………………………… 5
o 2.1.c Dari mana Anda akan mendapatkan informasi……………. 6
o 2.1.d Argumen apa yang akan Anda ajujan………………………. 6
o 2.2 Pengorganisasian………………………………………………. 6
o 2.2.a Menyusun………………………………………………… 6
o 2.2.b Memilah kedalam kelompok kelompok………………….. 7
3. Struktur I: Proposal…………………………………………………. 7
o 3.1. Posisi: Dimana kita berada sekarang…………………….. 7
o 3.2. Problem: Mengapa kita tidak bisa tetap seperti ini………. 7
o 3.3. Peluang: Semua tempat yang bisa kita datangi……………. 7
o 3.4. Proposal: Arah terbaik untuk dipilih………………………. 8
4. Struktur II Laporan…………………………………………………… 8
o 4.1. Laporan penelitian…………………………………………. 8
o 4.2. Laporan yang hanya informasi……………………………. 8
5. Kekuatan persuasi……………………………………………………. 9
o 5.1. Menunjukan bahwa Anda difihak mereka………………… 9
o 5.2. Mengarahkan mereka ke pihak Anda………………………
6. Menggunakan bahasa yang mudah dimengerti I: gaya penulisan……. 9
o 6.1. Pendekatan umum…………………………………………. 10
o 6.2. Frasa sebuan kalimat………………………………………. 10
o 6.3. Kata-kata……………………………………………………. 10
7. Menggunakan bahasa yang mudah dimengerti II: teknis……………. 10
8. Membuat laporan atau proposal mudah dibaca………………………. 11
o 8.1. Tata letak………………………………………………….. 11
o 8.2. Gunakan lampiran…………………………………………. 12
o 8.3 menggunakan lampiran dan grafik………………………… 12
o 8.4. menggunakan flowchart…………………………………….. 13
9. Bagian pembuka dan penutup………………………………………… 13
10. BAB IV Analisis………………………………………………. 14
11. BAB V Kesimpulan dan saran
o Kesimpulan……………………………………………………… 27
o Saran…………………………………………………………… 28
12. Daftar pustaka………………………………………………………….. 29
Persegi panjang
I. sifat-sifat persegi panjang
o Dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya.
o Memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
o Memiliki dua sumbu simetri
o Kedua diagonalnya sama panjang saling membagi dua sama panjang
o Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang (p) dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar (l).
o Persegi Panjang dapat menempati bingkainya dengan 4 cara, yaitu
1. Memutar satu putaran penuh
2. Memutar setengah putaran
3. Membalik secara horizontal
4. Membalik secara vertical
II. Rumus persegi panjang
Misalkan panjang persegi panjang tersebut ‘P’, dan lebarnya l. maka rumus persegi
L= p x l
K= 2P + 2l → = 2 ( p + l ) panjang diatas adalah sebagai berikut ;
PERSEGI
I. sifat-sifat persegi
o Dibentuk oleh empat buah rusuk (a) yang sama panjang
o Memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
o Kedua diagonalnya sama panjang saling membagi dua sama panjang
o Setiap sudutnya dibagi 2 sama besar oleh diagonal-diagonalnya
o Memiliki dua sumbu simetri
o Digonal-diagonalnya saling tegak lurus
o Cara Persegi menempati bingkainya
1. Memutar Seperempat Putaran
2. Memutar setengah putaran
3. Memutar tigaperempat putaran
4. Memutar satu putaran penuh
II. rumus persegi
Jika kita misalkan panjang rusuk persegi disamping adalah (a), maka perumusan untuk persegi adalah sebagi berikut;
K = a + a + a + a → = 4a
L = a x a
LAYANG LAYANG
I. sifat-sifat laying-layang
o dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.
o Mempunyai dua diagonal yang berbeda ukuran
o Kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus
o Diagonal-diagonalnya saling membagi sudut sama besarnya
o Sudut yang berhadapan sama besarnya
o Memiliki satu sumbu simetri
o Memiliki satu sumbu putar
o Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
II. Rumus Layang-layang
Jika kita misalkan kedua pasanga rusuk yang sama panjang itu kita umpamakan sebagai (S1) dan (S2) maka perumusan untuk laying-lyang adalah
JAJAR GENJANG
I. sifat-sifat jajar genjang
o Dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya,
o memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.
o Memiliki dua diagonal
o Kedua diagonalnya saling membagidua sudut dan sama besarnya
o Memiliki satu sumbu simetri
o Memiliki dua sumbu putar
o Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
II. Rumus jajar genjang
Kita misalkan pasangan rusuk yang mendatar atau horizontal kita sebut sebagai sisi alas (a) dan pasangan rusuk lainnya sebagai sisi miring. Maka rumus jajargenjang adalah;
TRAPESIUM
I. sifat-sifat trapesium
o Dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua diantaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.
o Tidak memiliki sumbu simetri
o Hanya memiliki satu sumbu putar
o Trapesium yang rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku.
II. Rumus trapezium
Karena keempat rusuknya mempunyai ukuran yang berbeda, maka rumus trapezium adalah sebagai berikut.
SEGI TIGA
segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut ainnya sudah diketahui.
I.
//
Klasifikasi segitiga Menurut panjang sisinya:
o Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.
o Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.
o Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.
II. Menurut besar sudut terbesarnya:
o Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya sama dengan 90o. Sisi di depan sudut 90o disebut hipotenusa atau sisi miring.
o Segitiga lancip adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya < 90o
o Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar sudut terbesarnya > 90o
III. Mencari luas dan keliling segitiga
o Teorema Heron
Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.
o Segitiga sama sisi
Untuk mencari luas dan keliling segitiga sama sisi yang bersisi a dapat digunakan rumus sebagai berikut:
o Dalil Pythagoras
o
Segitiga siku-siku
Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan bahwa:
LINGKARAN
Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
I.
//
Elemen lingkaran
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:
o Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)merupakan sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.
o Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busurmerupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB).
3. Busur (B)merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
o Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3. Cakram (C)merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
II. Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan
dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.
Persamaan parametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.
III. Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu;
Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.
IV. Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
V. Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
di mana digunakan
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
VI. Pi atau π
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
VII. Lingkaran dalam dan luar segitiga
Suatu lingkaran yang berada di dalam segitiga serta menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut disebut lingkaran dalam segitiga. Jari-jari lingkaran dalam segitiga bisa dicari dengan rumus:
dimana r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga, L adalah luas segitiga dan s adalah setengah keliling segitiga.
Suatu lingkaran yang berada di luar segitiga serta keliling lingkaran tersebut menyinggung perpotongan tiga garis segitiga disebut lingkaran luar segitiga. Jari-jadi lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan rumus:
dimana R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga; a, b dan c adalah tiga sisi segitiga dan L adalah luas segitiga.
BUJUR SANGKAR
BALOK
I. sifat- sifat balok
o Balok dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda.
o Jumlah rusuk balok adalah 12 rusuk
o Memiliki enam pasang rusuk yang saling sejajar
o Memiliki 6 pasang diagonal sisi
o Setiap diagonal sisinya saling berpotongan dan sama panjang
o Memiliki 4 diagonal ruang
o Mempunyai enam bidang diagonal
o Mempunyai 8 titik sudut
o Setiap sudutnya membentuk sudut yang berpenyiku = 90°
o Balok yang dibentuk oleh enam persegi sama dan sebangun disebut sebagai kubus.
Diagonal Ruang b-h danDiagonal Bidang b-g
II.
//
Elemen balok
o Panjang (p) adalah rusuk terpanjang dari alas balok.
o Lebar (l) adalah rusuk terpendek dari sisi alas balok.
o Tinggi (t) adalah rusuk yang tegak lurus terhadap panjang dan lebar balok.
III. Rumus balok
Jika kita umpamakan panjang rusuk (P), lebar (l) dan tinggi (t). maka rumus dari balok dapat disederhanakan sebagai berikut;
Volum balok =
Luas permukaan =
Panjang diagonal ruang =
diagonal bidang =
Luas bidang diagonal =
KUBUS
I. sifat-sifat kubus
o Dibentuk oleh tiga pasang bujur sangkar yang kongruen
o Memiliki 12 rusuk yang sama panjang
o Memiliki 6 pasang diagonal sisi yang sama panjang
o Diagonal sisinya saling berpotongan dan sama panjang
o Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang
o Memiliki 6 bidang diagonal
o Memilikin 6 pasang rusuk yang sejajar
o Setiap sudutnya membentuk sudut berpenyiku = 90°
II. Rumus
Karena setiap rusuknya mempunyai ukuran panjang yang sama maka persamaan kubus dapat disederhanakan sebagai berikut;
Missal panjang setiap rusuknya adalah (S), maka
V = S x S x S → = S³
o Volum kubus =
L = 6 ( S x S ) → = 6S²
o Luas permukaan =
o
dR= ( S² + S² + S²)^½ → = 3S² ^½Diagonal ruang =
( dB = (S² + S²)^½
o Diagonal bidang =
PRISMA
Dalam geometri, prisma adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Dengan kata lain prisma adalah bangun ruang yang mempunyai penampang melintang yang selalu sama dalam bentuk dan ukuran.
I. sifat sifat prisma
o bidang alas dan atasnya kongruen, dan sejajar, sehingga pada bidang alas dan alasnya yang berhadapan sama dan sejajar,
o rusuk tegak masing masingnya sama dan sejajar
o prisma tegak adalah prisma yang bidang sisi alas dan atasnya tegak lurus rusuk tegaknya
o prisma miring adalah prisma yang bidang alas dan atasnya tidak tegak lurus terhadap rusuk tegaknya
o nama prisma disesuaikan denagn bentuk alas atau atasnya, jika alasnya berbentuk segitiga , maka disebut prisma segitiga
o prisma beraturan adalah prisma tegak yang bidang alas dan atasnya merupakan segi beraturan
o banyaknya sisi segi n ada =( n + 2) sisi
II. Rumus prisma
o Luas permukaan prisma dengan alas dan tutup segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:
o Volume
LIMAS
I. Sifat-sifat limas
o Dalam geometri, limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga.
o Kerucut dapat disebut sebagai limas dengan alas berbentuk lingkaran.
o Limas dengan alas berupa persegi disebut juga piramida.
o Mempunyai (n + 1) titik sudut
o Mempunyai (n + 1)_sisi
Rumus limas
o Luas permukaan
Luas permukaan limas dengan alas segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:
o Volume
TABUNG
o Dalam geometri, tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut.
o Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.
Rumus tabung
o Luas permukaan
o Volume
KRUCUT
o Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran.
o Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.
Rumus kerucut
o Luas permukaan
o Volume
BOLA
Dalam geometri, bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada satu titik yang sama.
Rumus bola
o Luas permukaan
o Volume
DAFTAR PUSTAKA
asyono. 2003. Matematika 3A SLTP. Jakarta: bumi aksara
armawi, k. penyelesaian matematika smp jilid 3. bandung: CV. armico
setya wono,b. 2004. langkah awal menuju ke olimpiade matematika. Jakarta: CV. Ricardo
internet, diambil senin 14 juli 2008 dari www.wikipedia.com
Senin, November 17, 2008
konsep matematika
BAB 1. PENDAHULUAN1.1 Latar BelakangMatematika merupakan salah satu mata pelajaran yang dipelajari siswa di jenjang pendidikan formal mulai dari tingkat SD sampai pada SMA bahkan pada perguruan tinggi tidak terlepas dari matematika. Hal ini menunjukkan bahwa matematika memegang peranan yang penting dalam upaya peningkatan mutu sumber daya manusia.Pembelajaran matematika diharapkan berakhir dengan sebuah pemahaman siswa yang komprehensif dan holistik ( lintas topik bahkan lintas bidang studi jika memungkinkan ) tentang materi yang disajikan. Pemahaman siswa yang dimaksud tidak sekedar memenuhi tuntutan tujuan pembelajaran matematika secara substantif saja, namun diharapkan muncul ‘ efek iringan ‘ dari pembelajaran tersebut. Efek iringan yang dimaksud ( JICA, 2001 : 254 ) antara lain adalah :
1. Lebih memahami keterkaitan antara satu topik matematika dengan topik matematika yang lainnya.2. Lebih menyadari akan penting dan strategisnya matematika bagi bidang lain.3. Lebih memahami peranan matematika dalam kehidupan manusia.4. Lebih mampu berfikir logis, kritis, dan sistematis.5. Lebih kreatif dan inovatif dalam mencari solusi pemecahan sebuah masalah.6. Lebih peduli pada lingkungan sekitarnya.Ketercapaian dua sasaran pembelajaran matematika secara substantif dan efek iringannya akan tercapai manakala siswa diberi kesempatan yang seluas-luasnya untuk belajar matematika ( doing math ) secara komprehensif dan holistik. Dengan demikian, dalam proses belajar mengajar matematika kegiataan pengajaran perlu diubah menjadi kegiatan pembelajaran. Teknik mengajar yang baik harus diganti dengan teknik belajar yang baik dimana titik berat pemberian materi pelajaran harusdigeser menjadi pemberian kemampuan yang relevan dengan kebutuhan siswa untuk belajar.
Kendatipun antara kata pengajaran dengan pembelajaran bermakna hampir sama, namun esensinya berbeda. Dalam pengajaran matematika, guru lebih banyak menyampaikan sejumlah idea atau gagasan-gagasan matematika. Sementara dalam pembelajaran matematika siswa mendapat porsi lebih banyak daripada guru, bahkan mereka ‘harus‘ dominan dalam kegiatan belajar mengajar. Dalam kegiatan pembelajaran, siswa berperan aktif sebagai pembelajar dan fungsi guru lebih pada sebagai fasilitator dan dinamisator.
Kenyataan menunjukkan bahwa rendahnya hasil belajar siswa SMP yang dicerminkan melalui NEM merupakan tantangan serius bagi dunia pendidikan dan semua pihak yang berkecimpung dalam pendidikan matematika. Khususnya , guru perlu mencari pendekatan pembelajaran yang bisa membangkitkan motivasi belajar siswa, dan untuk siswa diharapkan untuk lebih giat menggali dan memahami konsep-konsep dalam matematika. Hal ini dimaksudkan agar siswa tidak jenuh dalam menerima dan mengikuti proses belajar mengajar matematika.
Salah satu factor yang mungkin sebagai penyebab rendahnya hasil belajar siswa adalah bahwa perencanaan dan impementasi pembelajaran yang dilakukan oleh para guru matematika tampaknya masih dilandasi dengan metode transfer informasi. Meskipun telah dicoba beberapa pendekatan, metode ini masih dominan. Kondisi pembelajaran matematika seperti ini akan menimbulkan kebosanan bagi siswa, siswa tidak dapat melihat hubungan antar materi pelajaran yang telah dipelajari dengan materi berikutnya , ini diperparah dengan sikap guru yang tidak pernah mengingatkan kembali siswa tentang hal tersebut dan terus melanjutkan materi tanpa mamperhatikan apakah siswa pada umumnya telah memahami materi yang diberikan sehingga pelajaran matematika menjadi tidak menarik, tidak disenangi, dan dengan sendirinya pelajaran matematika akan terasa sangat sulit. Dengan demikian sebagai konsekuensinya, hasil belajar yang dicapai siswa belum sesuai dengan harapan.
Ausubel ( Muhkal, 1991 ) menyatakan bahwa factor tunggal yang sangat penting dalam proses mengajar belajar adalah apa yang telah diketahui oleh siswa berupa materi pelajaran yang telah dipelajarinya. Apa yang telah dipelajari siswa dapat dimanfaatkan dan dijadikan sebagai titik tolak dalam mengkomunikasikan informasi atau ide baru dalam kegiatan pembelajaran. Hal ini dimaksudkan agar siswa dapat melihat keterkaitan antara materi pelajaran yang telah dipelajari dengan informasi atau ide baru. Namun sering terjadi siswa tidak mampu melakukannya. Dalam kegiatan seperti inilah sangat diperlukan adanya alat penghubung yang dapat menjembatani informasi atau ide baru dengan materi pelajaran yang telah diterima oleh siswa. Alat penghubung yang dimaksud oleh Ausubel dalam teori belajar bermaknanya adalah “ advance organizer “.
Model pembelajaran yang diimplementasikan di sini yang menggunakan pengetahuan awal dan miskonsepsi serta yang berorientasi pada tujuan pembelajaran matematika sekolah adalah suatu model yang berpijak pada teori belajar bermakna dari David Ausubel. Salah satu konsep yang akan dipakai landasan dalam pengembangan model pembelajaran di sini adalah Advance organizer. Dalam implementasinya , model advance organizer ini juga dibantu dengan peta konsep atau pemetaan konsep.
Teori yang digunakan sebagai dasar untuk menjawab permasalahan di atas bertolak dari konsep belajar bermakna dari David Ausubel. Ausubel (Sujanem,1998: 159) mengemukakan bahwa ( tersirat ) faktor yang paling penting yang mempengaruhi belajar ialah apa yang telah diketahui siswa. Yakinilah ini dan ajarlah ia demikian. Jadi,agar terjadi belajar bermakna, konsep atau informasi baru harus dikaitkan dengan konsep-konsep yang telah ada dalam struktur kognitif siswa. Peristiwa psikologi tentang belajar bermakna menyangkut asimilasi informasi baru pada pengetahuan yang telah ada dalam struktur kognitif seseorang.Tugas guru dalam mengajar, pertama menyajikan kerangka konsep yang umum ( organizer ) dan menyeluruh yang akan berfungsi sebagai pengorganisasi semua informasi yang akan diasimilasikan siswa. Peta konsep digunakan untuk menyatakan hubungan yang bermakna antara konsep-konsep dalam bentuk proposisi. Jadi supaya terjadi belajar bermakna, konsep baru atau informasi baru harus dikaitkan dengan konsep-konsep yang telah ada dalam struktur kognitif siswa dapat dilakukan dengan peta konsep ( Novak, 1991 ). Selain itu, peta konsep juga dapat digunakan mengungkapkan miskonsepsi siswa sekaligus sebagai alat evaluasi ( Dahar, 1989 ).
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis merasa perlu untuk mengadakan penelitian yang berkaitan dengan peningkatn ketuntasan belajar matematika siswa SMA.melalui strategi pembelajaran Advance organizer dengan bantuan Peta Konsep.1.2 Rumusan MasalahRumusan masalah dalam penelitian ini adalah1. Apakah dengan pendekatan pembelajaran advance organizer dengan peta konsep dapat meningkatkan ketuntasan belajar matematika siswa SMA ?2. Bagaimanakah efektivitas model pembelajaran advance organizer dengan peta konsep dalam pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ?3. Bagaimanakah respon siswa tentang pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan kuadrat dengan model pembelajaran advance organizer dengan bantuan peta konsep ?
1.3 Tujuan penelitianSejalan dengan rumusan masalah diatas, tujuan utama penelitian tindakan ini adalah mengembangkan model pembelajaran advance organizer dengan peta konsep. Secara lebih spesifik, tujuan penelitian tindakan ini dijabarkan sebagai berikut :1. Mendeskripsikan dan menganalisis kesulitan-kesulitan siswa pada matematika sub pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat sebelum diberikan pembelajaran.2. Menguji efektivitas model pembelajaran advance organizer dengan peta konsep dalam pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.3. Mengidentifikasi dan menganalisis respon siswa tentang pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan kuadrat dengan model pembelajaran advance organizer dengan peta konsep.
1.4 Manfaat penelitianTemuan-temuan yang diperoleh dari penelitian tindakan tentang model pembelajaran advance organizer dengan Peta Konsep ini akan memberikan kontribusi sebagai berikut :1. Pembelajaran dengan strategi advance organizer dengan Peta Konsep diharapkan merupakan suatu pendekatan pembelajaran yang dapat membantu siswa dalam belajar matematika sehingga siswa dapat memahami materi dengan baik.2. Kepada guru matematika, temuan ini dapat digunakan sebagai pedoman empiris dalam menyiapkan berbagai strategi pembelajaran dalam upaya mengarahkan siswa untuk mencapai hasil belajar yang optimal.3. Pengalaman praktis selama merancang dan melaksanakan penelitian ini akan memotivasi guru untuk memperluas penggunaannya pada konsep-konsep atau materi-materi yang lain secara mandiri dan berkelanjutan.
1.5 Definisi OperasionalUntuk menghindari perbedaan atau kekurangjelasan makna, maka definisi operasional dalam penelitian ini adalah :1. Hasil belajar adalah kemampuan-kemampuan yang dimiliki siswa setelah menerima pemgalaman belajar yang berupa nilai yang mencakup ranah kognitif, afektif, psikomotor.2. Model advance organizer diartikan sebagai suatu model pembelajaran yang pada prinsipnya siswa dapat menyerap, mencerna, dan mengingat bahan pelajaran dengan baik dalam kegiatannya siswa dapat menjelaskan kembali materi tersebut.3. Peta konsep adalah suatu cara memperlihatkan konsep-konsep dan proposisi suatu bidang studi, diantaranya bidang studi fisika, matamatika, biologi, kimia, ekonomi, dan lain-lain. Atribut yang dimaksud adalah yang menyertai konsep-konsep yang dapat berupa bentuk, warna, ukuran serta fungsi. Mengemukakan konsep-konsep merupakan dasar berfikir untuk belajar aturan, dan akhirnya untuk memecahkan masalah.
1. Lebih memahami keterkaitan antara satu topik matematika dengan topik matematika yang lainnya.2. Lebih menyadari akan penting dan strategisnya matematika bagi bidang lain.3. Lebih memahami peranan matematika dalam kehidupan manusia.4. Lebih mampu berfikir logis, kritis, dan sistematis.5. Lebih kreatif dan inovatif dalam mencari solusi pemecahan sebuah masalah.6. Lebih peduli pada lingkungan sekitarnya.Ketercapaian dua sasaran pembelajaran matematika secara substantif dan efek iringannya akan tercapai manakala siswa diberi kesempatan yang seluas-luasnya untuk belajar matematika ( doing math ) secara komprehensif dan holistik. Dengan demikian, dalam proses belajar mengajar matematika kegiataan pengajaran perlu diubah menjadi kegiatan pembelajaran. Teknik mengajar yang baik harus diganti dengan teknik belajar yang baik dimana titik berat pemberian materi pelajaran harusdigeser menjadi pemberian kemampuan yang relevan dengan kebutuhan siswa untuk belajar.
Kendatipun antara kata pengajaran dengan pembelajaran bermakna hampir sama, namun esensinya berbeda. Dalam pengajaran matematika, guru lebih banyak menyampaikan sejumlah idea atau gagasan-gagasan matematika. Sementara dalam pembelajaran matematika siswa mendapat porsi lebih banyak daripada guru, bahkan mereka ‘harus‘ dominan dalam kegiatan belajar mengajar. Dalam kegiatan pembelajaran, siswa berperan aktif sebagai pembelajar dan fungsi guru lebih pada sebagai fasilitator dan dinamisator.
Kenyataan menunjukkan bahwa rendahnya hasil belajar siswa SMP yang dicerminkan melalui NEM merupakan tantangan serius bagi dunia pendidikan dan semua pihak yang berkecimpung dalam pendidikan matematika. Khususnya , guru perlu mencari pendekatan pembelajaran yang bisa membangkitkan motivasi belajar siswa, dan untuk siswa diharapkan untuk lebih giat menggali dan memahami konsep-konsep dalam matematika. Hal ini dimaksudkan agar siswa tidak jenuh dalam menerima dan mengikuti proses belajar mengajar matematika.
Salah satu factor yang mungkin sebagai penyebab rendahnya hasil belajar siswa adalah bahwa perencanaan dan impementasi pembelajaran yang dilakukan oleh para guru matematika tampaknya masih dilandasi dengan metode transfer informasi. Meskipun telah dicoba beberapa pendekatan, metode ini masih dominan. Kondisi pembelajaran matematika seperti ini akan menimbulkan kebosanan bagi siswa, siswa tidak dapat melihat hubungan antar materi pelajaran yang telah dipelajari dengan materi berikutnya , ini diperparah dengan sikap guru yang tidak pernah mengingatkan kembali siswa tentang hal tersebut dan terus melanjutkan materi tanpa mamperhatikan apakah siswa pada umumnya telah memahami materi yang diberikan sehingga pelajaran matematika menjadi tidak menarik, tidak disenangi, dan dengan sendirinya pelajaran matematika akan terasa sangat sulit. Dengan demikian sebagai konsekuensinya, hasil belajar yang dicapai siswa belum sesuai dengan harapan.
Ausubel ( Muhkal, 1991 ) menyatakan bahwa factor tunggal yang sangat penting dalam proses mengajar belajar adalah apa yang telah diketahui oleh siswa berupa materi pelajaran yang telah dipelajarinya. Apa yang telah dipelajari siswa dapat dimanfaatkan dan dijadikan sebagai titik tolak dalam mengkomunikasikan informasi atau ide baru dalam kegiatan pembelajaran. Hal ini dimaksudkan agar siswa dapat melihat keterkaitan antara materi pelajaran yang telah dipelajari dengan informasi atau ide baru. Namun sering terjadi siswa tidak mampu melakukannya. Dalam kegiatan seperti inilah sangat diperlukan adanya alat penghubung yang dapat menjembatani informasi atau ide baru dengan materi pelajaran yang telah diterima oleh siswa. Alat penghubung yang dimaksud oleh Ausubel dalam teori belajar bermaknanya adalah “ advance organizer “.
Model pembelajaran yang diimplementasikan di sini yang menggunakan pengetahuan awal dan miskonsepsi serta yang berorientasi pada tujuan pembelajaran matematika sekolah adalah suatu model yang berpijak pada teori belajar bermakna dari David Ausubel. Salah satu konsep yang akan dipakai landasan dalam pengembangan model pembelajaran di sini adalah Advance organizer. Dalam implementasinya , model advance organizer ini juga dibantu dengan peta konsep atau pemetaan konsep.
Teori yang digunakan sebagai dasar untuk menjawab permasalahan di atas bertolak dari konsep belajar bermakna dari David Ausubel. Ausubel (Sujanem,1998: 159) mengemukakan bahwa ( tersirat ) faktor yang paling penting yang mempengaruhi belajar ialah apa yang telah diketahui siswa. Yakinilah ini dan ajarlah ia demikian. Jadi,agar terjadi belajar bermakna, konsep atau informasi baru harus dikaitkan dengan konsep-konsep yang telah ada dalam struktur kognitif siswa. Peristiwa psikologi tentang belajar bermakna menyangkut asimilasi informasi baru pada pengetahuan yang telah ada dalam struktur kognitif seseorang.Tugas guru dalam mengajar, pertama menyajikan kerangka konsep yang umum ( organizer ) dan menyeluruh yang akan berfungsi sebagai pengorganisasi semua informasi yang akan diasimilasikan siswa. Peta konsep digunakan untuk menyatakan hubungan yang bermakna antara konsep-konsep dalam bentuk proposisi. Jadi supaya terjadi belajar bermakna, konsep baru atau informasi baru harus dikaitkan dengan konsep-konsep yang telah ada dalam struktur kognitif siswa dapat dilakukan dengan peta konsep ( Novak, 1991 ). Selain itu, peta konsep juga dapat digunakan mengungkapkan miskonsepsi siswa sekaligus sebagai alat evaluasi ( Dahar, 1989 ).
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis merasa perlu untuk mengadakan penelitian yang berkaitan dengan peningkatn ketuntasan belajar matematika siswa SMA.melalui strategi pembelajaran Advance organizer dengan bantuan Peta Konsep.1.2 Rumusan MasalahRumusan masalah dalam penelitian ini adalah1. Apakah dengan pendekatan pembelajaran advance organizer dengan peta konsep dapat meningkatkan ketuntasan belajar matematika siswa SMA ?2. Bagaimanakah efektivitas model pembelajaran advance organizer dengan peta konsep dalam pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan kuadrat ?3. Bagaimanakah respon siswa tentang pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan kuadrat dengan model pembelajaran advance organizer dengan bantuan peta konsep ?
1.3 Tujuan penelitianSejalan dengan rumusan masalah diatas, tujuan utama penelitian tindakan ini adalah mengembangkan model pembelajaran advance organizer dengan peta konsep. Secara lebih spesifik, tujuan penelitian tindakan ini dijabarkan sebagai berikut :1. Mendeskripsikan dan menganalisis kesulitan-kesulitan siswa pada matematika sub pokok bahasan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat sebelum diberikan pembelajaran.2. Menguji efektivitas model pembelajaran advance organizer dengan peta konsep dalam pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.3. Mengidentifikasi dan menganalisis respon siswa tentang pembelajaran persamaan dan pertidaksamaan kuadrat dengan model pembelajaran advance organizer dengan peta konsep.
1.4 Manfaat penelitianTemuan-temuan yang diperoleh dari penelitian tindakan tentang model pembelajaran advance organizer dengan Peta Konsep ini akan memberikan kontribusi sebagai berikut :1. Pembelajaran dengan strategi advance organizer dengan Peta Konsep diharapkan merupakan suatu pendekatan pembelajaran yang dapat membantu siswa dalam belajar matematika sehingga siswa dapat memahami materi dengan baik.2. Kepada guru matematika, temuan ini dapat digunakan sebagai pedoman empiris dalam menyiapkan berbagai strategi pembelajaran dalam upaya mengarahkan siswa untuk mencapai hasil belajar yang optimal.3. Pengalaman praktis selama merancang dan melaksanakan penelitian ini akan memotivasi guru untuk memperluas penggunaannya pada konsep-konsep atau materi-materi yang lain secara mandiri dan berkelanjutan.
1.5 Definisi OperasionalUntuk menghindari perbedaan atau kekurangjelasan makna, maka definisi operasional dalam penelitian ini adalah :1. Hasil belajar adalah kemampuan-kemampuan yang dimiliki siswa setelah menerima pemgalaman belajar yang berupa nilai yang mencakup ranah kognitif, afektif, psikomotor.2. Model advance organizer diartikan sebagai suatu model pembelajaran yang pada prinsipnya siswa dapat menyerap, mencerna, dan mengingat bahan pelajaran dengan baik dalam kegiatannya siswa dapat menjelaskan kembali materi tersebut.3. Peta konsep adalah suatu cara memperlihatkan konsep-konsep dan proposisi suatu bidang studi, diantaranya bidang studi fisika, matamatika, biologi, kimia, ekonomi, dan lain-lain. Atribut yang dimaksud adalah yang menyertai konsep-konsep yang dapat berupa bentuk, warna, ukuran serta fungsi. Mengemukakan konsep-konsep merupakan dasar berfikir untuk belajar aturan, dan akhirnya untuk memecahkan masalah.
Minggu, November 02, 2008
Hikmah Kematian
Kehidupan berlangsung tanpa disadari dari detik ke detik. Apakah anda tidak menyadari bahwa hari-hari yang anda lewati justru semakin mendekatkan anda kepada kematian sebagaimana juga yang berlaku bagi orang lain?
Seperti yang tercantum dalam ayat “Tiap-tiap yang berjiwa akan merasakan mati. Kemudian hanyalah kepada Kami kamu dikembalikan.” (QS. 29:57) tiap orang yang pernah hidup di muka bumi ini ditakdirkan untuk mati. Tanpa kecuali, mereka semua akan mati, tiap orang. Saat ini, kita tidak pernah menemukan jejak orang-orang yang telah meninggal dunia. Mereka yang saat ini masih hidup dan mereka yang akan hidup juga akan menghadapi kematian pada hari yang telah ditentukan. Walaupun demikian, masyarakat pada umumnya cenderung melihat kematian sebagai suatu peristiwa yang terjadi secara kebetulan saja.
Coba renungkan seorang bayi yang baru saja membuka matanya di dunia ini dengan seseorang yang sedang mengalami sakaratul maut. Keduanya sama sekali tidak berkuasa terhadap kelahiran dan kematian mereka. Hanya Allah yang memiliki kuasa untuk memberikan nafas bagi kehidupan atau untuk mengambilnya.
Semua makhluk hidup akan hidup sampai suatu hari yang telah ditentukan dan kemudian mati; Allah menjelaskan dalam Quran tentang prilaku manusia pada umumnya terhadap kematian dalam ayat berikut ini:
Katakanlah: “Sesungguhnya kematian yang kamu lari daripadanya, maka sesungguhnya kematian itu akan menemui kamu, kemudian kamu akan dikembalikan kepada (Allah), yang mengetahui yang gaib dan yang nyata, lalu Dia beritakan kepadamu apa yang telah kamu kerjakan.” (QS. 62:8)
Kebanyakan orang menghindari untuk berpikir tentang kematian. Dalam kehidupan modern ini, seseorang biasanya menyibukkan dirinya dengan hal-hal yang sangat bertolak belakang [dengan kematian]; mereka berpikir tentang: di mana mereka akan kuliah, di perusahaan mana mereka akan bekerja, baju apa yang akan mereka gunakan besok pagi, apa yang akan dimasak untuk makan malam nanti, hal-hal ini merupakan persoalan-persoalan penting yang sering kita pikirkan. Kehidupan diartikan sebagai sebuah proses kebiasaan yang dilakukan sehari-hari. Pembicaraan tentang kematian sering dicela oleh mereka yang merasa tidak nyaman mendengarnya. Mereka menganggap bahwa kematian hanya akan terjadi ketika seseorang telah lanjut usia, seseorang tidak ingin memikirkan tentang kematian dirinya yang tidak menyenangkannya ini. Sekalipun begitu ingatlah selalu, tidak ada yang menjamin bahwa seseorang akan hidup dalam satu jam berikutnya. Tiap hari, orang-orang menyaksikan kematian orang lain di sekitarnya tetapi tidak memikirkan tentang hari ketika orang lain menyaksikan kematian dirinya. Ia tidak mengira bahwa kematian itu sedang menunggunya!
Ketika kematian dialami oleh seorang manusia, semua “kenyataan” dalam hidup tiba-tiba lenyap. Tidak ada lagi kenangan akan “hari-hari indah” di dunia ini. Renungkanlah segala sesuatu yang anda dapat lakukan saat ini: anda dapat mengedipkan mata anda, menggerakkan badan anda, berbicara, tertawa; semua ini merupakan fungsi tubuh anda. Sekarang renungkan bagaimana keadaan dan bentuk tubuh anda setelah anda mati nanti.
Dimulai saat anda menghembuskan napas untuk yang terakhir kalinya, anda tidak ada apa-apanya lagi selain “seonggok daging”. Tubuh anda yang diam dan terbujur kaku, akan dibawa ke kamar mayat. Di sana, ia akan dimandikan untuk yang terakhir kalinya. Dengan dibungkus kain kafan, jenazah anda akan di bawa ke kuburan dalam sebuah peti mati. Sesudah jenazah anda dimasukkan ke dalam liang lahat, maka tanah akan menutupi anda. Ini adalah kesudahan cerita anda. Mulai saat ini, anda hanyalah seseorang yang namanya terukir pada batu nisan di kuburan.
Selama bulan-bulan atau tahun-tahun pertama, kuburan anda sering dikunjungi. Seiring dengan berlalunya waktu, hanya sedikit orang yang datang. Beberapa tahun kemudian, tidak seorang pun yang datang mengunjungi.
Sementara itu, keluarga dekat anda akan mengalami kehidupan yang berbeda yang disebabkan oleh kematian anda. Di rumah, ruang dan tempat tidur anda akan kosong. Setelah pemakaman, sebagian barang-barang milik anda akan disimpan di rumah: baju, sepatu, dan lain-lain yang dulu menjadi milik anda akan diberikan kepada mereka yang memerlukannya. Berkas-berkas anda di kantor akan dibuang atau diarsipkan. Selama tahun-tahun pertama, beberapa orang masih berkabung akan kepergian anda. Namun, waktu akan mempengaruhi ingatan-ingatan mereka terhadap masa lalu. Empat atau lima dasawarsa kemudian, hanya sedikit orang saja yang masih mengenang anda. Tak lama lagi, generasi baru muncul dan tidak seorang pun dari generasi anda yang masih hidup di muka bumi ini. Apakah anda diingat orang atau tidak, hal tersebut tidak ada gunanya bagi anda.
Sementara semua hal ini terjadi di dunia, jenazah yang ditimbun tanah akan mengalami proses pembusukan yang cepat. Segera setelah anda dimakamkan, maka bakteri-bakteri dan serangga-serangga berkembang biak pada mayat tersebut; hal tersebut terjadi dikarenakan ketiadaan oksigen. Gas yang dilepaskan oleh jasad renik ini mengakibatkan tubuh jenazah menggembung, mulai dari daerah perut, yang mengubah bentuk dan rupanya. Buih-buih darah akan meletup dari mulut dan hidung dikarenakan tekanan gas yang terjadi di sekitar diafragma. Selagi proses ini berlangsung, rambut, kuku, tapak kaki, dan tangan akan terlepas. Seiring dengan terjadinya perubahan di luar tubuh, organ tubuh bagian dalam seperti paru-paru, jantung dan hati juga membusuk. Sementara itu, pemandangan yang paling mengerikan terjadi di sekitar perut, ketika kulit tidak dapat lagi menahan tekanan gas dan tiba-tiba pecah, menyebarkan bau menjijikkan yang tak tertahankan. Mulai dari tengkorak, otot-otot akan terlepas dari tempatnya. Kulit dan jaringan lembut lainnya akan tercerai berai. Otak juga akan membusuk dan tampak seperti tanah liat. Semua proses ini berlangsung sehingga seluruh tubuh menjadi kerangka.
Tidak ada kesempatan untuk kembali kepada kehidupan yang sebelumnya. Berkumpul bersama keluarga di meja makan, bersosialisasi atau memiliki pekerjaan yang terhormat; semuanya tidak akan mungkin terjadi.
Singkatnya, “onggokkan daging dan tulang” yang tadinya dapat dikenali; mengalami akhir yang menjijikkan. Di lain pihak, anda – atau lebih tepatnya, jiwa anda – akan meninggalkan tubuh ini segera setelah nafas anda berakhir. Sedangkan sisa dari anda – tubuh anda – akan menjadi bagian dari tanah.
Ya, tetapi apa alasan semua hal ini terjadi?
Seandainya Allah ingin, tubuh ini dapat saja tidak membusuk seperti kejadian di atas. Tetapi hal ini justru menyimpan suatu pesan tersembunyi yang sangat penting
Akhir kehidupan yang sangat dahsyat yang menunggu manusia; seharusnya menyadarkan dirinya bahwa ia bukanlah hanya tubuh semata, melainkan jiwa yang “dibungkus” dalam tubuh. Dengan lain perkataan, manusia harus menyadari bahwa ia memiliki suatu eksistensi di luar tubuhnya. Selain itu, manusia harus paham akan kematian tubuhnya - yang ia coba untuk miliki seakan-akan ia akan hidup selamanya di dunia yang sementara ini -. Tubuh yang dianggapnya sangat penting ini, akan membusuk serta menjadi makanan cacing suatu hari nanti dan berakhir menjadi kerangka. Mungkin saja hal tersebut segera terjadi.
Walaupun setelah melihat kenyataan-kenyataan ini, ternyata mental manusia cenderung untuk tidak peduli terhadap hal-hal yang tidak disukai atau diingininya. Bahkan ia cenderung untuk menafikan eksistensi sesuatu yang ia hindari pertemuannya. Kecenderungan seperti ini tampak terlihat jelas sekali ketika membicarakan kematian. Hanya pemakaman atau kematian tiba-tiba keluarga dekat sajalah yang dapat mengingatkannya [akan kematian]. Kebanyakan orang melihat kematian itu jauh dari diri mereka. Asumsi yang menyatakan bahwa mereka yang mati pada saat sedang tidur atau karena kecelakaan merupakan orang lain; dan apa yang mereka [yang mati] alami tidak akan menimpa diri mereka! Semua orang berpikiran, belum saatnya mati dan mereka selalu berpikir selalu masih ada hari esok untuk hidup.
Bahkan mungkin saja, orang yang meninggal dalam perjalanannya ke sekolah atau terburu-buru untuk menghadiri rapat di kantornya juga berpikiran serupa. Tidak pernah terpikirkan oleh mereka bahwa koran esok hari akan memberitakan kematian mereka. Sangat mungkin, selagi anda membaca artikel ini, anda berharap untuk tidak meninggal setelah anda menyelesaikan membacanya atau bahkan menghibur kemungkinan tersebut terjadi. Mungkin anda merasa bahwa saat ini belum waktunya mati karena masih banyak hal-hal yang harus diselesaikan. Namun demikian, hal ini hanyalah alasan untuk menghindari kematian dan usaha-usaha seperti ini hanyalah hal yang sia-sia untuk menghindarinya:
Katakanlah: “Lari itu sekali-kali tidaklah berguna bagimu, jika kamu melarikan diri dari kematian atau pembunuhan, dan jika (kamu terhindar dari kematian) kamu tidak juga akan mengecap kesenangan kecuali sebentar saja.” (QS. 33:16)
Manusia yang diciptakan seorang diri haruslah waspada bahwa ia juga akan mati seorang diri. Namun selama hidupnya, ia hampir selalu hidup untuk memenuhi segala keinginannya. Tujuan utamanya dalam hidup adalah untuk memenuhi hawa nafsunya. Namun, tidak seorang pun dapat membawa harta bendanya ke dalam kuburan. Jenazah dikuburkan hanya dengan dibungkus kain kafan yang dibuat dari bahan yang murah. Tubuh datang ke dunia ini seorang diri dan pergi darinya pun dengan cara yang sama. Modal yang dapat di bawa seseorang ketika mati hanyalah amal-amalnya saja.
Langganan:
Postingan (Atom)
Postingan
